2025年高考数学大题培优突破训练大题预测02(原卷版+解析版)

大题预测01（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最大值． 【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数；（2） 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间；（2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，，............................................................2分 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数；....................................................6分 （2）的定义域为，，............................................................8分 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为．............................................................11分 .............................................................13分 16．（15分） 某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． （1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率； （2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望. 【解析】（1）甲3局全胜的概率为,......................................................3分 乙3局全胜的概率为，......................................................6分 进行3局比赛决出冠亚军的概率为.........................................................9分 （2）的可能取值为1，2， ，，............................................................13分 故的分布列为： 1 2 故．............................................................15分 17．（15分） 直三棱柱中，，M为AC的中点，N为的中点，． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）证明出三角形全等，得到，故， 结合，得到线面垂直，得到，从而得到线面垂直，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求出两平面的夹角余弦值. 【解析】（1）设直线与相交于点O， 因为三棱柱为直三棱柱， 又，所以，，， 所以，所以，............................................................2分 又， 则，即； 又，，平面， 所以平面，............................................................5分 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，所以；............................................................7分 （2）由（1）得两两垂直， 建立空间直角坐标系如图所示： 设， 则，，，，， 则，，............................................................9分 设平面的法向量为， 则，解得，令得， 则平面的法向量，............................................................11分 ，， 设平面的法向量， 则，解得，令，则， 则平面的法向量，............................................................13分 ， 所以平面与平面所成角的余弦值为．............................................................15分 18．（17分） 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的方程及其准线方程． （2）设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足 ... ...