2025年高考数学大题培优突破训练大题01三角函数、三角恒等变换与解三角形(6大题型)(原卷版+解析版)

大题01三角函数、三角恒等变换与解三角形 根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 题型一：三角恒等变换与三角函数 （2024·福建福州·统考模拟预测）已知函数，是的零点． （1）求的值； （2）求函数的值域． 【思路分析】 （1）根据函数的零点性质并结合范围求解；（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域. 【规范解答】 （1）由已知可得，解得，即， 又，可得． （2）由， 可得， 其中，则当时，函数取得最小值， 当时，取得最大值2， 故函数的值域为． 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1.（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）求方程的根. 【答案】（1）最大值为2，最小值为；（2）. 【分析】（1）求出函数有意义的取值，再由切化弦及辅助角公式化简函数式，利用正弦函数性质求解即得. （2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求解并验证即得. 【解析】（1）函数中，，即， ，显然， 由，得，则，即， 所以当，即时，函数的最大值为2； 当；即时，函数的最小值为. （2）由，得，即或，， 解得或，，而， 所以方程的根是. 2.（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称. （1）求函数的单调增区间； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1），；（2）最小值为2，最大值为3 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间． （2）由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可． 【解析】（1）∵， 由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于直线对称，所以， 所以，所以，所以， 由，，得， ∴函数的单调增区间为，. （2）∵，∴，， 由，∴当或时，，当时， 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 （2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，求. 【思路分析】 （1）由已知结合正弦定理得，再利用余弦定理得，从而得解； （2）由三角形内角和结合已知可得，化简可得：，再利用求解. 【规范解答】 （1）在中，， 由正弦定理可知：可化为： 故可得：，代入可得： 所以，故（*） 在中，由余弦定理可得： 代入数据和（*）式可得： 所以三角形面积为：，故三角形的面积为. （2）因为且，故，所以， 代入可得： 因此 化简可得：，则， 因为，所以，所以， 所以可得：，化简可得： 在中，由正弦定理可得：. 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一 ... ...