大题02 数列 数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。 题型一：等差数列与等比数列证明 （2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，. （1）求，； （2）求，并判断是否为等比数列. 【答案】（1）；（2），是等比数列 【思路分析】 （1）分别令，，计算可得所求值； （2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列的通项公式，可得，得解． 【规范解答】 （1）， （2）因为，所以， 所以，，…，， 将以上各式相加得 . 因为，所以， 又也满足，所以， 所以， 所以是等比数列，且首项、公比均为2. 判断数列是否为等差货等比数列的策略 1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断； 2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。 1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中． （1）若，求的值； （2）求证：数列是等比数列． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）在中令，得成等比数列，结合即可得解. （2）由等比数列定义结合已知即可得证. 【解析】（1）令，则，即， 成等比数列，则公比为． ， 即． （2）， 两式相除得，即①，由①得②， ②÷①得，即， 即，由（1）知， 数列是等比数列． 2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）借助与的关系消去后化简可得，即可得证； （2）计算出后再次借助与的关系计算即可得数列的通项公式. 【解析】（1）由已知，令，解得， 又， 则，则，则， 则，则，即， 又，故是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可知，， 故，则， 由（1）可知，， 当时，， 综上，可得． 题型二：分组转化法求数列的前n项和 （2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 【思路分析】 （1）根据求解即可； （2）利用分组求和法求解即可. 【规范解答】 （1）由， 当时，，所以， 当时，，即， 所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列，所以； （2）当时，，此时 当时，， 则， 此时， 当时，，上式成立， 所以. 1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。 1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，． （1）若数列满足，求的通项公式； （2）求数列的通项公式，并求． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据数列的递推公式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，分为奇数、偶数两种情况讨论，设、，可得出数列的通项公式，分别求出、，相加可得. 【解析】（1）因为数列满足，， 则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则. （2）由（1）可得， 所以，， 当为奇数时，设，则， 则； 当为偶数时，设，则，则. 综上所述，. 因为， ， 所以，. 2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列， ... ...
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