大题03 立体几何 立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。 题型一：空间异面直线夹角的求解 （2023·上海长宁·统考一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）求证：； （2）若，求异面直线与所成的角的大小. 【思路分析】 （1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角. 【规范解答】 （1）在三棱锥中，由为的中点，得， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）分别取的中点，连接，于是， 则是异面直线与所成的角或其补角， 由（1）知，，又，， 则，于是， 令，则， 又，则有，， 又平面，平面， 则，，， 由分别为的中点，得， 显然，即有，，则， 所以异面直线与所成的角的大小. 1、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： （1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)； （2）中位线平移法； （3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 3、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 1．（2023·江西萍乡·高三统考期中）如图，在正四棱台中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据中位线定理，结合线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用面面平行的性质，可得答案； （2）根据题意，结合正四棱台的几何性质，求得各棱长，利用线线角的定义，可得答案. 【解析】（1）取中点，连接，如下图： 在梯形中，分别为的中点，则，同理可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）连接，则，连接, 在平面中，作交于， 在平面中，作交于，连接，如下图： 因为，则，且，所以为平行四边形， 则，且，所以为异面直线与所成角或其补角， 同理可得：为平行四边形，则， 在正四棱台中，易知对角面底面， 因为平面平面，且，平面， 所以平面，由内切球的半径为，则， 在等腰梯形中，且，易知，同理可得， 在中，，则， 设正方形的边长为，则正方形的边长为，， 由正四棱台的侧面积为，则等腰梯形的面积， 因为平面，平面，所以， 在，，可得， 则，解得， 所以，，，，则， 在中，，则， 所以在中，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． （1）证明：CD⊥AE； （2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求；（2）由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【解析】（1）因为平面平面，且两平面交线为,，平面 所以平面， 所以，是二面角的平面角，故 ． 连接，E为棱的中点，则，从而 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
