大题04 圆锥曲线 圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。 题型一：最值问题 （2024·安徽合肥·统考一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 【思路分析】 （1）利用导函数的几何意义求得直线的表达式，得出三点的坐标，联立直线与抛物线方程根据韦达定理得出； （2）利用点到直线距离公式可求得，可求出的最小值. 【规范解答】 （1）因为抛物线的焦点为， 所以，即的方程为：，如下图所示： 设点， 由题意可知直线的斜率一定存在，设， 联立得，所以. 由，得， 所以，即. 令，得，即， 同理，且， 所以. 由，得，即. 所以，故. （2）设点，结合（1）知，即 因为， 所以. 同理可得， 所以. 又， 所以. 当且仅当时，等号成立； 即直线斜率为0时，取最小值； 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 1．（2024·吉林·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值. 【解析】（1）因为的周长为8， 所以，解得， 焦距为，，所以， 所以椭圆E的方程为． （2）由（1）可知圆， 当直线斜率不存在时，为或， 当时，，则， 当时，同理， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，则， 设， 联立椭圆于直线方程，消元得， 所以， 由，得, , 令， 则， 由，所以当时，， 而时，单调递减，所以，所以. 2．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． （1）求C的方程； （2）若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）利用抛物线的对称性，确定抛物线过的点求出C的方程. （2）设出点的坐标及切线方程，再联立切线与抛物线方程求出切点的坐标，进而求出直线过的定点即得. 【解析】（1）依题意，由抛物线的对称性知，点关于x轴对称， 由，得， 不妨令点在第一象限，则， 设抛物线C的方程为，即有，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，抛物线C：的准线方程为，设点， 显然切线不垂直于坐标轴，设切线方程为， 由消去x并整理得①，于是， 设方程的一个根为，则该方程的另一根为， 不妨令切线的方程为， 方程①中取得点的纵坐标为，其横坐标为，即点， 同理得，当时，直线方程为， 整理得， 当或时，直线方程为，因此直线过定点，为定值， 所以当时，点O到直线AB的距离取得最大值1. 题型二：参数范围问题 （2023·上海浦东新·高三建平中学校考阶段练习）已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于 ... ...
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