大题06 概率统计 概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。 题型一：离散型随机变量及其分布列 （2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； 【思路分析】 （1）设出事件，利用条件概率公式求出答案； （2）求出的可能取值及相应的概率，得到分布列和数学期望. 【规范解答】 （1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件， ，故； （2）由己知可得，的可能取值为， ，，， 的分布列为 0 1 2 求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。） 1．（2024·四川成都·成都七中模拟预测）甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为，输掉的概率为，每局的比赛结果互不影响． （1）求甲最终获胜的概率； （2）记总共的比赛局数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为 【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）求出的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，借助期望公式计算即可得其数学期望. 【解析】（1）因为甲四局比赛后获胜的概率为， 甲五局比赛后获胜的概率为， 甲六局比赛后获胜的概率为， 甲七局比赛后获胜的概率为， 所以甲最终获胜的概率； （2）X的所有可能取值是4，5，6，7， 因此有 ， ， ， ， 则随机变量X的分布列为： 4 5 6 7 于是， 所以随机变量X的数学期望是. 2．（2024·云南德宏·高三统考期末）设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球. （1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率； （2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【分析】（1）记事件为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，求出，再根据条件概率的计算公式即可得答案； （2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望. ... ...
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