2025年湖南省长沙一中城南中学高考数学一模试卷（含答案）

2025年湖南省长沙一中城南中学高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 3.在四面体中，，，且与所成的角为若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为( ) A. B. C. D. 4.已知等比数列中，，，则( ) A. B. C. D. 5.函数的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则( ) A. B. C. D. 8.是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 10.下列命题中正确的是( ) A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量， C. 数据，，，，，，的第百分位数是 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 11.已知正方形在平面直角坐标系中，且：，则直线的方程可能为( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知公差为正数的等差数列的前项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第_____项 13.在平面直角坐标系中，已知点，，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为_____． 14.二项式的展开式中，只有第项系数最大，则常数项为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，，． 求； 若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 16.本小题分 已知函数． 若在处的切线方程为，求、的值； 若时，在上恒成立，求的取值范围． 17.本小题分 设正项等比数列，，且、的等差中项为． 求数列的通项公式； 若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． 若为的中点，证明：平面； 设直线与平面所成角的为，求的最大值． 19.本小题分 已知椭圆：与双曲线：，的焦点与的焦点间的距离为，． 求与的方程； 过点可以作两条与的公切线． 求点的坐标． 当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与，均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：根据，由正弦定理得， 结合，整理得， 因为中，，所以，化简得， 又中，，所以，可得； 由第问的结论，结合平分，可得， 因为，所以， 即，结合，化简得， 根据基本不等式，可得，所以，解得． 当且仅当时，等号成立． 所以，当时，的面积有最小值，最小值为． 16.解：函数，则， 若在处的切线方程为， 则， 所以，即， ， 所以， 故，． ， 若上恒成立，即， 故是在上的极小值，所以， ，，解得， 下证时，， 令，， 在上单调递减，，， 由零点存在定理，，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， ，，， 由零点存在定理，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以上，，，， 在上，单调递增， ，单调递减，所以， 综上，只有当时，在上，所以． 17.解：设等比数列的公比为，则， 由题意可得，解得， 则． 由得， 则， 所以，数列为等差数列，所以， 所以，， 则． 18.证明：如图， 设线段的中点为，连接，， ... ...