山东师范大学附属中学2025届高三一模考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量满足，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 3.设正项等比数列的前项和为，若，，则( ) A. B. C. D. 4.已知高为的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的倍，则该圆台的表面积为( ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，直线与抛物线，单位圆分别相切于，两点，当最小时，( ) A. B. C. D. 6.若函数的两个零点分别为和，则( ) A. B. C. D. 7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有张扑克牌，点数分别为，两人各随机出牌张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜次或平局次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数，且在区间上有零点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则( ) A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是 10.函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是( ) A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 11.过点的直线与抛物线交于两点抛物线在点处的切线与直线交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是( ) A. 直线与抛物线有个公共点 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 ． 13.已知球的半径等于，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径点在上，点在上，为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则 ． 14.已实数满足，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 当时，求函数的单调区间； 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 16.本小题分 在锐角中，角的对边分别为，已知 求角； 若，求面积的取值范围． 17.本小题分 如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，， 分别是线段和上的动点，且，． 若，求的值； 当时，求直线与平面所成角的正弦值； 若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值． 18.本小题分 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． 若比赛规则为：每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； 若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． 若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 19.本小题分 已知双曲线的离心率为，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为． 求双曲线的方程； 设，若点在双曲线 上， 在点处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 ． 证明数列是等差数列，并求通项公式 设数列的前 项和为 求证： 对 ． 其中 表示不超过的最大整数，例如 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故 ... ...
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