1.3.4 导数的应用举例 课标要求 1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决实际问题中的最优化问题. 【知识梳理】 1.最优化问题的概念 在经济生活中,为使经营利润 、生产效率 ,或为使用力 、用料 、消耗 等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略.这些都是最优化问题. 2.解决最优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x). (2)求导函数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (4)依据实际问题的意义给出答案. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)在建立函数模型时,应根据实际问题确定出函数的定义域. ( ) (2)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去. ( ) (3)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值为π. ( ) (4)若底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,则当底面边长为时,其表面积最小. ( ) 2.已知某生产厂家的年利润y(单位: 万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A.7万件 B.9万件 C.11万件 D.13万件 3.某件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为 元时,利润最大. 4.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为 m. 题型一 用料最省、成本最低问题 例1 位于A,B两点处的甲、乙两村合用一个变压器,如图所示,若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何处时,所需电线总长最短. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 训练1 甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v3+15v. (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二 利润最大、效率最高问题 例2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3
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