2.2.2 空间向量的数量积 课标要求 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 【知识梳理】 1.空间向量的夹角 (1)定义:如图,由于空间任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内,借助平面向量夹角的定义,我们过一点O作向量=a,=b,则∠AOB称为向量a,b的夹角,记作 . (2)范围: . ①当
=时,向量a与b垂直,记作a⊥b. ②当=0或π时,向量a与b平行,记作a∥b. 温馨提醒 对于两向量a,b的夹角的理解,除=外还应注意由于两向量的夹角的范围为[0,π],要注意<,,>,<,>的区别和联系,即<,,,>. 2.空间向量的数量积 (1)定义:a·b= 为a与b的数量积. 特别地,a·a=|a|2,|a|=,a·b=0 a⊥b. (2)对于两个非零向量a,b,由a·b=|a||b|·cos得cos=. (3)空间向量数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ,λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)= 3.投影向量与投影 (1)如图,将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内,可得=a,=b,=α.过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1则方向上的投影向量,投影向量的模||= . (2)取方向上的单位向量e来度量投影向量,类比平面向量,可得=(||cos α)e,因而可用|方向上的投影. (3)数量积的几何意义:a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影 的乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影 的乘积. 温馨提醒 (1)投影可正、可负、也可为零,这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时,投影才是投影向量的模. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)向量的夹角. ( ) (2)若向量的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. ( ) (3)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (4)对任意向量a,b,满足|a·b|≤|a||b|. ( ) 2.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a= ( ) A.12 B.8+ C.4 D.13 3.已知空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos <,>的值为 ( ) A. D.0 4.已知|a|=1,且a-b与a垂直,a与b的夹角为45°,则|b|= . 题型一 空间向量的夹角 例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求向量,,,,的夹角. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 (1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角. (2)对空间任意两个非零向量a,b有:①=;②<-a,b>=;③<-a,-b>=. 训练1 在正四面体ABCD中,的夹角等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 题型二 空间向量的数量积 例2 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1);(2); (3);(4). _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知|a|,|b|和,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确. 训练2 (1)(多选)设a,b为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有 ( ) A.a2=|a|2 B. C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 (2)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为 . 题型三 投影向量与投影 例3 (1)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,BC⊥PB,PA=2,PB=2方向的单位向量为e,则方向上的投影向量为 . (2)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影为 . 思维升华 1.求投影向量的方法 (1)依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量. (2)首先根据题意确定向量a ... ... 