8.4.1 提公因式法 教学设计 沪科版（2024）数学七年级下册

第八章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 8.4.1 提公因式法 1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解. 2. 在对因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的探究中，了解因式分解与整式乘法之间互逆变形关系，培养整体性思维，建立数学思维的思考模式. 3. 通过因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值. 重点：掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解. 难点：经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想. （一）创设情境 情境：杨辉，字谦光，南宋杰出的数学家。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。 杨辉在《详解九章算法》中记载了一些乘法算式和相应的分解因数的方法，如“四六二十四”可以分解为“2×12”“3×8”“4×6”. 思考：在数学中，对于多项式是否也有类似的分解方法呢 师生活动：教师讲解南宋数学家杨辉的故事，学生认真听讲，最后教师提出问题，学生思考. 设计意图：本节课通过数学史故事引入，激发学生的兴趣.通过思考问题的提出，引发学生思考，为学习新内容做铺垫. （二）探究新知 任务一 探究因式分解的概念 思考：请把下列多项式写成几个因式乘积的形式. (1) a2+2ab+b2= ; (2) a2-2ab+b2= ; (3) a2-b2= ; (4) na+nb+nc= . 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间3分钟. 师生活动：学生根据整式乘法公式及平方差公式回答,教师引导学生观察等号两边的形式发现：这几个式子从左到右的变形是把多项式化为整式乘积的形式，从而给出因式分解的定义. 分析：(1)(2)(3)根据完全平方公式和平方差公式即可得出答案；(4)可以把n提取出来即可得出答案. 预设答案：(1) a2+2ab+b2= (a+b)2 (2) a2-2ab+b2= (a-b)2 (3) a2-b2= (a+b)(a-b) (4) na+nb+nc= n(a+b+c) 总结：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 思考：下列整式乘法与因式分解之间有什么关系 (1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)； (2) (a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2； (3) (x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3). 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间3分钟. 师生活动：学生小组讨论，教师引导学生总结并板书:因式分解与整式乘法互为逆运算. 总结：可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 总结：因式分解的对象是多项式，而不是单项式.分解后的每个因式必须是整式的积的形式. 设计意图：通过具体问题的解决，让学生观察、思考和操作过程中，结合具体事例了解因式分解的概念,认识其本质属性———将一个多项式化为几个式子乘积的变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫. 任务二 探究提公因式法分解因式 思考：观察下列多项式，它们有什么共同的特点？你能尝试分解它们吗？ (1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x. 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间3分钟. 师生活动：教师先提出问题，学生独立思考，并回答问题，教师点评并给出公因式的定义;对于问题“你能尝试分解它们吗”，教师引导学生利用整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc 分解因式，并给出提公因式的定义. 预设答案：(1) ma+mb+mc：有相同因式m. (2) 2x2+x：有相同因式 x. 归纳：它们的每一项都含有一个相同的因式，我们把相同的因式叫做这个多项式各项的公因式. 把公因式m和x提到括号外面，这样就把多项 ... ...