2025年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）（含答案）

2025年山西省太原市高考数学模拟试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算的结果是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量，且，则实数的值为( ) A. B. C. D. 4.已知，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知的三条边长分别为，，，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为( ) A. B. C. D. 6.将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得的图象经过点，则( ) A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，且，是以为公差的等差数列，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知样本数据，，，的平均数为，方差为，样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列结论正确的是( ) A. 数据，，，的平均数为 B. 数据，，，的方差为 C. 数据，，，，，，，的平均数为 D. 数据，，，，，，，的方差为 10.已知函数，若，且，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 11.已知动点到点和直线的距离和为，记其轨迹为曲线点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是( ) A. 曲线的方程为 B. 对于任意，都存在点，，使得成立 C. 当时，若点，关于点对称，则 D. 若点，关于点对称，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的系数是_____用数字作答 13.已知圆台的上、下底面的半径分别为和，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为_____． 14.对于数列称为数列的阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，已知数列，，且为数列的阶商分数列，则数列的前项和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，分别是的内角，，的对边，且． 求； 若是边上一点，且，，求的值． 16.本小题分 已知函数，． 讨论函数的单调性； 当时，若恒成立，求的值． 17.本小题分 如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形． 求证：； 若，点是线段上一点，二面角的余弦值为，求的长． 18.本小题分 已知圆：，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 设点，，直线，分别与曲线交于点，点异于点． 求证：直线过定点； 若，为垂足，求点的轨迹方程． 19.本小题分 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： 顾客在该商场内的消费额每满元，可获得张奖券； 每张奖券可以进行次抽奖活动，即从装有个白球、个红球的盒子中，随机摸取个球每个球被摸到的可能性相同奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会该抽奖机会无需使用新的奖券，继续从当前盒子中随机摸取个球，其奖励规则不变； 从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行； 若顾客获得份礼品即该顾客将个红球都摸出或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束． 顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第张奖券抽奖，中奖”的概率； 顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第份礼品时，共使用了张奖券”的概率； 顾客丙消费了元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求的分布列及其期望． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由得， 由余弦定理得， ... ...