第三讲 ：因数与倍数下 知识精讲 分解质因数. 我们知道了质数与合数的概念。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，比如.其中质数2,3,5,我们称之为30的质因数，那么像这样，把一个合数写成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的. 我们一般使用短除法来分解质因数.如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性. 100在分解质因数时可以写成：;280在分解质因数时可以写成.这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如： 这里280的分解式中5和7的指数都是1,写的时候可以省略. 找因数个数. 通过枚举的方法可以逐对写出一个数的所有因数，从而算出它的因数个数.但是对很大的数，例如20120000,用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算. 以72为例，首先采用枚举法可知72共12个因数，分别为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.因为72的因数能整除72,而72的所有质因数也都能整除72,所以对72进行分解质因数，有：,，那么72的所有因数中2的指数最低为0，最高为3，共4种情况；3的指数最低次为0，最高次为2，共3种情况.根据乘法原理，72的因数共(个)，见下表(注意、): 从72的这个例子，我们可以总结出计算因数个数的一个简单做法： 因数个数：等于质因数的指数加1再相乘， 例如：,M的因数个数为：. 若一个数是质数，那么它只有两个因数，就是1与本身，一个数的因数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个因数，根据上面关于因数个数的知识我们可以知道，有奇数个因数的数一定是平方数，有偶数个因数的数一定不是平方数. 题型汇总 题型一：分解质因数 1．把下列各数分解质因数 18 81 100 129 【答案】18＝2×3×3 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5 129＝3×43 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把题中几个数字分解质因数。 【详解】 18＝2×3×3 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5 129＝3×43 2．将下面各数分解质因数。 39 18 45 80 【答案】见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 题型二：分解质因数的实际应用 1．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 【答案】乐乐数对了 【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。 【详解】68＝2×2×17 70＝2×5×7 77＝7×11 72＝2×2×2×3×3 这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。 答：乐乐数对了。 2．甲、乙、丙三人去打靶，每人打一枪。三人各自打中环数之积是192，且三人的环数恰好是连续的偶数。这三人的环数分别是多少？ 【答案】4环；6环；8环 【分析】先将192分解质因数，把192写成连续的偶数的乘积的形式，可以得到这三个数分别是4，6，8，即这三人的环数。 【详解】192＝2×2×2×2×2×2×3＝（2×2）×（2×3）×（2×2×2）＝4×6×8 答：这三人的环数分别是4环，6环，8环。 题型三：分解质因数解决年龄问题 1．有4个小朋友，他们的年龄恰好是4个连续的自然数，他们的年龄的积是360，最大的小朋友多少岁？ 【答案】6岁 【分析】解答本题时首先把3 ... ...
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