2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为虚数单位，若复数，则复数在复平面上对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.以下说法正确的是( ) 棱柱的侧面是平行四边形；长方体是平行六面体；长方体是直棱柱；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；直四棱柱是长方体；四棱柱、五棱锥都是六面体． A. B. C. D. 3.在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则等于 A. B. 或 C. D. 或 4.已知向量，，，且，，则( ) A. B. C. D. 5.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为( ) A. B. C. D. 6.已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则( ) A. B. C. D. 8.已知复数满足，则的最大值为( ) A. B. C. D. 9.在中，内角，，的对边分别为、、，已知，则是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 10.为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知，两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，点为点正上方一标志物，对应水平面，现测得，设，则( ) A. B. C. D. 11.已知三个不共线的向量满足，则为的( ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 12.如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 13.设是虚数单位，复数，则的虚部是 ， ． 14.在中，角的对边分别为，，，，则 ． 15.已知，若复数是纯虚数，则的值为 ． 16.在边长为的正三角形中，，则的值等于 ． 17.已知与，点在直线上，且，则点坐标为 ． 18.在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为 ． 19.已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 20.如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知，，与的夹角为． 若与共线，求实数的值； 求的值； 若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 22.已知锐角三角形的三个内角，，所对的边分别为，，，，，三角形的面积为． 求边上的高： 求． 23.已知的内角，，的对边分别为，，，满足． 求角的值； 若，， (ⅰ)求的值； (ⅱ)求的值． 24.的内角，，的对边分别为，，，已知． 求角的大小； 若，，求的面积； 若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.或 18. 19. 20. 21.因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为． 22.，得， 因为为锐角，所以． 所以， 设边上的高为，则，得． ，， 所以． 23.由正弦定理得：，化简得：， 由余弦定理得：，又，所以． 由知，，又，， 由正弦定理可得：； (ⅱ)因为，所以， 所以，， 所以 ． 24.由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； 由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； 由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，单调递增；当，单调递减； 当时，；当时，；当 ... ...