2025年广东省深圳高级中学高中园高考数学二模试卷（含答案）

2025年广东省深圳高级中学高中园高考数学二模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数，若，则复数的共轭复数( ) A. B. C. D. 3.已知向量，若，则实数( ) A. B. C. D. 4.已知高为的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的倍，则该圆台的表面积为( ) A. B. C. D. 5.奇函数的单调减区间可以是( ) A. B. C. D. 6.若，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的倍，和谐号的正点率为，复兴号的正点率为，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线：的右焦点为，过作直线分别与双曲线的两渐近线相交于、两点，且，，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10.随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则( ) A. B. C. D. 11.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( ) A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则 _____． 13.已知是等差数列，是公比为的等比数列，且，则 ． 14.设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在梯形中，，，． 若，求的长； 若，求． 16.本小题分 如图，三棱柱的底面是边长为的等边三角形，为的中点，，侧面底面． Ⅰ证明：； Ⅱ当时，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知点，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是． 求动点的轨迹方程； 直线与曲线交于，两点，直线，的斜率之和为，且，求的面积． 18.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间； 若，求函数在区间上的零点个数． 19.本小题分 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． 若有位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； 若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为； 请写出与的递推关系； 设，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：在中，，，， 由正弦定理得， 则； 因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得：，解得， 所以． 16.解：Ⅰ证明：等边三角形中，为中点，， 侧面底面，侧面底面， 又平面，平面， 又平面，C. Ⅱ在中，， ， ． 由Ⅰ知，，平面， 又平面，， ，，两两垂直， 以，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，则， 不妨取，则， 平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，则， 不妨取，则， 平面的一个法向量为． 记平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 17.； ． 18.解：定义域为，由题意得， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； ， 由 ... ...