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课件网) 7.3 课时2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1.掌握复数三角形式的乘、除运算. 2.理解复数三角形式乘除运算的几何意义. 复数的两种形式 代数形式 三角形式 实部 ____ 虚部____ 辐角_____ 辐角主值 _____ 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化. 复数的代数形式的乘除运算法则 乘法： 除法： 两角和（差）的正弦、余弦公式 (1) (2) 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 思考：如果把复数 根据复数的乘法运算法则，你能计算出 的积，并将结果表示为三角形式吗？ 即 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 口诀：模相乘，辐角相加 探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数z1，z2相乘时，可以像y右图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量然后把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2角(如果θ2 <0就要把绕点O按顺时针方向旋转|θ2| 角)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义. 思考：你能解释i2=-1和（-1）2=1的几何意义吗？ 由i2=i·i =i·(cos+isin) =(cos+isin)·(cos+isin) =cos π+ isin π =-1 i =-1的几何意义是“将i对应的向量绕点 O按逆时针方向旋转，得到 -1对应的向量”. (-1)2=1可以写为(-1)·(cos π +isin π)=1, (-1)2=1的几何意义是“将-1对应的向量绕O按逆时针方向旋转π，得到1对应的向量”. 题型一 复数三角形式乘法运算及几何意义 [例1] 已知复数z1＝2 ，z2＝ ，求z1z2. ＝ 2× ＝ ＝ z1z2 ＝ 2 × 解： 涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围． 方法总结 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值． ∵z1＝4＋4i＝4， z2＝－1－i＝ ， ∴z1z2＝4 [] ＝8 ＝8 ， ∴θ1＋θ2＝ . 解： 题型二 复数三角形式除法运算及其几何意义 [例2] 计算的值． 解： 在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 方法总结 2. 计算：2÷[]. = 2 ] = 2] 原式= 2]÷[] 解： 题型三 复数乘、除运算几何意义的应用 [例3] 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ . [例3] 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ . [证明] 如图，建立平面直角坐标系(复平面)． ∠1＝arg(3＋i)， ∠2＝arg(5＋i)，∠3＝arg(7＋i)， ∠4＝arg(8＋i)． 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角． 而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)， 所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝ ， 又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ . 复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件． 方法总结 3．设复数z1，z2对应的向量为， ，O为坐标原点，且z1＝－1＋ i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2. 解：依题意(－1＋i) ＝ . ∴z2＝(－1＋ i) ＝2 ] ＝2 ＝－ ＋ i. 1．复数三角形式的乘法法则： 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2．复数三角形式的除法法则： 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 3．复数乘、除运算的几何意义： 是向量的旋转和伸缩，利用复数的几何意 ... ...
