中小学教育资源及组卷应用平台 第7节 新定义四边形 一、知识梳理 深刻理解新定义四边形的性质，围绕性质完成题目要求. 二、分层练习 1.定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为“勾股四边形”. (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种“勾股四边形”的名称； (2) 如图 7-1 所示, 将 绕顶点B 按顺时针方向旋转( 得到 连接AD,DC , CE, 已知 ① 求证: 是等边三角形； ② 求证: 即四边形ABCD是“勾股四边形”. 2. 如图 7-2(a) 所示, 在四边形ABCD中, 若∠A, ∠C均为直角, 则称这样的四边形为“美妙四边形”. (1)在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是“美妙四边形”.(填写图形名称) (2) 试证明: (3) 如图7-2(b) 所示, 在等腰直角三角形ABC中, 点D为BC的中点, 点E, F分别在AB, AC 上, 连接DE, DF, 如果四边形AEDF 是“美妙四边形”，试证明： 3.我们定义对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”. 如图 7-3 所示， 点E 是四边形ABCD内一点， 已知 ,对角线AC 与BD相交于O点,BD与EC相交于点F,AC与ED相交于点G . (1)求证： 四边形ABCD是“垂美四边形”. (2)猜想四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并说明理由. (3) 若. , 则CD的长为 . 4.定义：有一组邻边相等的凸四边形叫作“等邻边四边形”. 【概念理解】 (1)下列四边形中是“等邻边四边形”的是 . A. 矩形 B. 菱形 C.平行四边形 D. 梯形 (2)如图7-4(a)所示, 在四边形ABCD中, 若∠ABC=∠BCD, BC∥AD,对角线BD平分∠ABC, 则四边形ABCD “等邻边四边形”. (填“是”或“不是”) 【性质探究】 (1)小红画了一个“等邻边四边形” ABCD,如图7-4(b)所示,其中AB=AD,BC=CD. 若∠A=80°, ∠C=60°, 求出∠B, ∠D的度数. (2) 如图 7-4 (c) 所示, 在“等邻边四边形” ABCD中, ∠ABC=∠ADC=90°, AB=AD=6, 求对角线AC 的长. 5.定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫作“美妙线”， 该四边形叫作“美妙四边形”. 如图7-5 所示，在四边形ABDC中，对角线BC平分 和 那么对角线BC为“美妙线”， 四边形ABDC为“美妙四边形”. (1)下列四边形中是“美妙四边形”的有 . A.平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 (2) 四边形 ABCD 是“美妙四边形”, 求四边形ABCD的面积.(画出图形并写出解答过程) 6.新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”. (1)已知: 如图7-6(a)所示,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C, 求∠C, ∠ D的度数. (2)在探究“等对角四边形”的性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD，如图7-6(b) 所示, 其中 此时她发现( 成立，请你证明此结论. (3)已知:在“等对角四边形” ABCD中, 求对角线AC的长. 7.定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”，这个四边形叫作“和谐四边形”. (1)请你写出一个“和谐四边形”： . (2)如图7-7(a)所示,在四边形ABCD中, BD平分∠ABC, 求证: BD是四边形ABCD的“和谐线”. (3)如图7-7(b), 在 中， 在平面内找一点D，使得以点A，B，C，D组成的四边形为“和谐四边形”，且满足AD为“和谐线”， 请画出草图，并直接写出 的度数. 8. 【定义理解】 如图7-8(a) 所示, 在△ABC中, 点E是BC的中点, 点P是AE的中点,则称CP是△ABC的“双中线”, ∠ACB=90°, AC=3, AB=5, 则CP= . 【类比探究】 (1) 如图 7-8(b) 所示, 点E是菱形ABCD一边上的中点, 点P是BE上的中点, 则称AP是菱形ABCD的“双中线”. 若AB=4, ∠BAD=120°, 则AP= . (2)如图7-8(c)所示, AP是矩形ABCD的“双中线”.若AB=4, BC=6,求AP的长. 【拓展应用】 如图7-8(d)所示,AP是平行四边形ABCD的“双中线”.若AB=4,BC=6,∠BAD=120 ... ...
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