中小学教育资源及组卷应用平台 重难突破3 平行四边形之构造中位线问题 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小， ∴最小值为，的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是上一点，若平分的周长，则DE的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ，即， 是的中位线， ． 故选：B． 3．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，根据三角形的中位线定理可得，，由三角形的三边关系可得，即，结合与不平行，即得答案． 【详解】如图，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，， 是的中点，是的中点， ，， 即， 又与不平行， 所以． 故选：C． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，平分交于点，点为边的中点，已知，那么的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键． 延长交于点F，利用全等三角形的判定和性质求得的长，根据三角形中位线定理求得的长，进而求得的长，从而可求三角形周长． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴ ∴， ∴的周长为 故选：A． 5．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是矩形， ，， ，分别是边，的中点，，， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， 点是的中点，是的中点， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，，E，F分别为，的中点，若，，则长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接，并延长交于点G，可证 ，再证，从而可得，可证是的中位线，，即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ， ，， E，F分别为，的中点， ，， 在和中， ... ...
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