类型1 函数图象的应用 画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果． 【例1】 已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＝f (2－x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝x.求x∈[－3，5]时，f (x)＝的所有解的和． [解] 当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，∴f (－x)＝－x. 又∵f (x)为奇函数，∴x∈[－1，0]时，f (x)＝－f (－x)＝x.即x∈[－1，1]时，f (x)＝x. 又由f (x)＝f (2－x)可得f (x)的图象关于直线x＝1对称． 由此可得f (x)在[－3，5]上的图象如下： 在同一坐标系内画出y＝的图象， 由图可知在[－3，5]上共有四个交点， ∴f (x)＝在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称， ∴＝1，＝1. ∴x1＋x2＋x3＋x4＝4. 类型2 函数性质的应用 1．解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值． 2．研究与抽象函数有关的问题时要紧扣其定义，通过赋值来求解． 【例2】 已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－. (1)求证：f (x)在R上是减函数； (2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值； (3)解不等式f (x)－f (－x)>2. [解] (1)证明：由f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，可得 f (x＋y)－f (x)＝f (y)． 在R上任取x1>x2， 令x＋y＝x1，x＝x2， 则f (x1)－f (x2)＝f (x1－x2)． ∵x1>x2，∴x1－x2>0. 又x>0时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0， 即f (x1)－f (x2)<0. 由定义可知f (x)在R上是减函数． (2)∵f (x)在R上是减函数， ∴f (x)在[－3，3]上单调递减， ∴f (－3)最大，f (3)最小．又f (1)＝－， ∴f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×＝－2. ∴f (－3)＝f (4－3)－f (4)＝f (1)－f (3)－f (1) ＝－f (3)＝2. 即f (x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. (3)由(2)知f (－3)＝2， f (x)－f (－x)>2，即f (x)>f (－x)＋2＝f (－x)＋f (－3)＝f (－3－x)， 由(1)知f (x)在R上为减函数，∴f (x)>f (－3－x)，得x<－3－x，解得解集为. 类型3 数学思想在函数中的应用 数形结合思想 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然． 【例3】 已知x2>，求x的取值范围． [解] x2与有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以在同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1. 分类讨论思想 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏． 【例4】 设函数f (x)＝x2－2x，x∈，若函数的最小值为g(a)，试求g(a). [思路点拨] 由于a与1的大小关系不确定，所以应分－2
