类型1 函数的零点及其应用 1． 确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． 【例1】 (1)已知函数f (x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( ) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) (1)C (2)C [(1)因为f (x)＝ln x－在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－<0，f (3)＝ln 3－>0，所以x0∈(2，3)，故选C. (2)函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. ] 类型2 二分法及应用 1．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小． 2．计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求． 3．二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f (x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得． 【例2】 设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的． 先求值：f (0)＝_____，f (1)＝_____，f (2)＝_____，f (3)＝_____． 所以f (x)在区间_____内存在一个零点x0，填下表， 区间 中点m f (m)符号 区间长度 结论x0的值为多少？(精确度为0.1) [解] f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31， 所以初始区间为(1，2)． 区间 中点m f (m)符号 区间长度 (1，2) 1.5 ＋ 1 (1，1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1，1.25) 1.125 － 0.25 (1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125 (1.125，1.187 5) 0.062 5 因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以x0≈1.125(不唯一)． 类型3 函数的实际应用 1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示． 2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． 3．求解函数模型，并还原为实际问题的解． 【例3】 某市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p(t)． (1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝－60(元)，问：当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． [解] (1)由题设，当2≤t<10时，令p(t)＝500－k(10－t)2(k>0)， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴p(2)＝500－k(10－2)2＝372，解得k＝2. ∴p(t)＝ ， 故t＝5时，p(5)＝500－2×52＝450， 所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人． (2)由(1)得： Q(t)＝ ， ∵2≤t<10时，Q(t)≤260－2＝132，当且仅当t＝4时等号成立， ∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(4)＝132， 而10≤t≤20时， ... ...
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