第2课时 指数函数及其性质的应用 类型1 指数式的大小比较 【例1】 (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( ) A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 (2)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (3)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a (1)D (2)D (3)D [(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，根据函数y＝2x是R上的增函数知，21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2，故选D. (2)0.80.9＜0.80.7＜1，1.20.8＞1，因此c＞a＞b，故选D. (3)0.30.6＜0.30.5，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以0.30.5＜0.40.5，因此0.30.6＜0.30.5＜0.40.5，即c＞b＞a，故选D.] 比较指数式大小的3种类型及处理方法 [跟进训练] 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8-0.1，1.250.2； (2)1.70.3，0.93.1； (3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)． [解] (1)∵0<0.8<1， ∴y＝0.8x在R上是减函数． ∵－0.2<－0.1，∴0.8-0.2>0.8-0.1， 而0.8-0.2＝＝1.250.2， 即0.8-0.1<1.250.2. (2)∵1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值． 当0
a0.6. 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5a0.6；当a>1时，a0.5ax+7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． [解] (1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5. (2)①当0ax+7可得－5x－. ②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－. 综上，当0－；当a>1时，x<－. 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f (x)>g(x)； 当00，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等． [跟进训练] 2．不等式≤2x的解集为_____． {x|x≥1，或x≤－2} [∵＝(2-1)x2－2＝， ∴原不等式等价于≤2x. ∵y＝2x是R上的增函数， ∴2－x2≤x， ∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1， ∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．] 类型3 指数型函数性质的应用 指数型函数的单调性问题 【例3】 求函数y＝的单调区间． [解] 令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且y＝为减函数，故函数y＝的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞)． 指数型函数的奇偶性问题 【例4】 若函数y＝a－为奇函数． (1)确定a的值； (2)求函数的定义域． [解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x)＋f (x)＝0， 即a－＋a－＝0， ∴2a＋＝0. ∴a＝－. (2)∵y＝－， ∴2x－1≠0， 即x≠0， ∴函数y＝－的定义域为{x|x≠0}． 指数型函数性质的综合问题 【例5】 已知f (x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f (x)＝. (1)求f (x)在(－1，1)上的解析式； (2)求f (x)的值域． [解] (1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)． ∵函数f (x)为奇函数，∴f (x)＝－f (－x)＝－＝－. 又f (0)＝0，故当x∈(－1，1)时，f (x)的解析式为f (x)＝ (2)f (x)＝在(0，1)上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈(0，1)，且x10. ... ... 