§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学习任务 核心素养 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(重点、难点) 1．通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养． 2．通过三种函数增长快慢的比较，培养直观想象素养． 1．当a>1时，函数y＝ax的增长速度与a的大小有什么关系？ 2．当a>1时，函数y＝logax的增长速度与a的大小有什么关系？ 3．当x>0，n>1时，函数y＝xn的增长速度与n的大小有什么关系？ 1．三种函数的增长趋势 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 图象的变化趋势 随x增大，近似与y轴平行 随x增大，近似与x轴平行 α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快 增长速度 ①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快 ②随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢 ③当x足够大时，一定有ax>xα>logax 2.当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”． 举例说明“指数爆炸”增长的含义． [提示] 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． ( ) (2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快． ( ) (3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．如图的增长趋势反映的是( ) A．一次函数 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 C [从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．] 3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数型函数变化的变量是_____． y2 [以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数变化．] 类型1 指数函数、对数函数、幂函数图象的比较 【例1】 函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f (2)g(10)． ∴1x2时，f (x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2 022)>g(2 022)>g(8)>f (8)． 底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢交替出现，从这个实例我们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数模型增大的含义． [跟进训练] 1.四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( ) A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y ... ...
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