5.2.2复数的乘法与除法 教学课件(共28张PPT)高中数学北师大版（2019）必修第二册

(课件网) 5.2.2复数的乘法与除法 北师大版（2019）必修第二册 第五章 复数 学习目标 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 02 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商． 01 复习引入 复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？ 填空. （1）(a±b)2＝ ； （2）(a＋b)(a－b)＝ ； （3）(a＋b)(c＋d)＝ . a2±2ab＋b2 a2－b2 ac＋ad＋bc＋bd 知识探究 问题 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2， ∵i2＝－1，∴z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则. 复数的乘法： 实部是“实×实－虚×虚”；虚部是“实×虚＋虚×实” 知识探究 追问1：两个复数的积是个什么数？它的值唯一确定吗？ 通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定． 追问2：当都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？ 根据法则，当b=0，d =0时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致 复数的乘法： 追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？ 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可． 例5 计算：； 解：（1）(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i ＝－6－2i－3i－i2 ＝－6－2i－3i＋1 ＝－5－5i； 例6 计算： 解：原式 ． 问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想． 知识探究 (1)结合律：对任意的，，有； 证明． ， 同理可得： ，∴． 复数的乘法满足结合律 问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想． 知识探究 (2)交换律：对任意的，，有； 证明∵ 又，， ∴． 复数的乘法满足交换律 问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想． 知识探究 (3)乘法对加法的分配律：对任意的，，有； 证明 ∴． 复数的乘法满足分配律 知识探究 问题 如何定义复数的乘方运算呢？ ，，，． 计算，，，，…以此类推，你发现了什么规律？ 对于复数，定义它的乘方…． 根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立， 即对复数，，和正整数，有： ，，． 例7 计算：，． 复数的乘方运算规律与实数的一致. 解： ； ． 例8 计算：，，，. 解： 例9 求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，． 解：使用配方法容易得到： ，则 例9 求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，． ，则 综上所述，一元二次方程在复数范围内的根，都满足 思考交流：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. 解：(1)； (2)； (3) (4) (1)； (2)； (3)(4) 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 即若 ，则 例10 证明：对任意的两个复数，若，则至少有一个为． 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方. 解：设则，的共轭复数． 将的左右两边同时乘，得， 即． 因为所以． 问题：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则． 知识探究 给定复数，若存在复数 ，使得 ，则称 是 的倒数，记作 设和， 则， 所以的倒数 （这里要求不能同时为0，即） 问题：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了 ... ...