2025年人教版数学九年级中考冲刺培优练：圆的证明与计算（含答案）

2025年人教版数学九年级中考冲刺培优练： 圆的证明与计算 1．如图，是的直径，，为圆上的两点，是的中点，，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接，，． (1)求证：与相切； (2)求证：； (3)若，，求线段的长． 2．如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 3．已知：如图，内接于，点E为弧上一点，延长交于点D，且． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，射线交于点F，弦于点H，连接交于点K，若，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，设与交于点N，连接，若，，求的长． 4．如图1，圆中，为弦，为弧中点，连接交于． (1)求证：； (2)如图2，弦弦，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若平分，，求长． 5．如图，是的直径，是的切线，交于，点是弧上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 6．如图，是的直径，点E为弧的中点，、交于点D，过A的切线交的延长线于F． (1)求证：； (2)若，求的值． 7．如图1，点，，是半径为的上的三点，四边形是平行四边形，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接与交于点，求四边形的面积． 8．如图，与交于C、D点，，是的直径，．过D点作于H点，交于F点，连接、． (1)求证：； (2)过点F作于点M，交于点N，连接DN．若，，试求出的长度． 9．如图，是的直径，点是半圆的中点，点是弧上一点，连接，过点作交延长线于点，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 10．是的半径，C是半径上的动点，过C作的垂线交于F，交于D、E两点，过A点作的切线与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)已知的半径为4， ①当的长为多少时，且， ②请直接写出①中的长． 11．如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D， (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长. 12．如图，是的直径，点，在上，且，点在的延长线上． (1)若，求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 13．如图，为的直径，四边形内接于，对角线、交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 14．如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F. (1)求证：是的切线； (2)若，，求①直径的长；②的长. 15．如图，为的直径，A为上一点，作的平分线交于点D．过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，以为直径⊙是的外接圆，的平分线交⊙于点，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，，经过点的与边相切于点，与边分别交于点、点，连接，． (1)求证： ； (2)若，求的长度． 18．如图，四边形内接于，是的直径，E是上一点，连接，，，且． (1)求证：； (2)若， ①当，求的长； ②当，求的长． 19．如图，在中，是的直径，是的弦，，． (1)求的半径； (2)连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长． 20．如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接． (1)若，求证：是的切线； (2)如果，求的长度． 参考答案 1．（1）解：， ， 点是弧的中点， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴， 是圆的半径， 与相切， （2）是的直径， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 平分， ， ∵，， ， ； （3）连接， 平分， ∴， ， 是的直径， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴， ∴或(舍去)， ∴． 2．（1）证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是 ... ...