2024-2025学年江苏省南京市励志高级中学高一下学期第二次调研考试（3月）数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数满足，则( ) A. B. C. D. 2.等于 A. B. C. D. 3.已知是锐角，那么是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 4.已知向量，则 A. B. C. D. 5.已知，则与方向相反的单位向量的坐标为( ) A. B. C. D. 6.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：为虚数单位，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可知( ) A. B. C. D. 7.若角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点，且，则等于 A. B. C. D. 8.已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题中正确的是( ) A. 已知平面向量，，则与共线 B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为 C. 已知复数满足，则 D. 已知复数，满足，则 10.下列说法正确的是( ) A. 若，则或 B. 是函数的一条对称轴 C. D. 若，则在方向上的投影向量的模为 11.如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则( ) A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数的值为 ． 13.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点若点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 14.如图，中，为中点，，，为圆心为，半径为的圆的动直径，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知是函数的一个零点， 求的值； 求函数在上的单调递减区间； 16.本小题分 若，，． 若，求实数的值； 若与的夹角为，求实数的值． 17.本小题分 某地拟在一个形水面上修一条堤坝在上，在上，围出一个封闭区域，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从上点处分别向点，拉条分隔线，，将所围区域分成个部分如图，每部分种植不同的水生植物．已知，，，设所拉分隔线总长度为． 设，求用表示的函数表达式，并写出定义域； 求的最小值． 18.本小题分 如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且设，． 若，以，为基底表示向量与； 若，求的取值范围． 19.本小题分 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． 设函数，试求的伴随向量的坐标； 记向量的伴随函数为，当且时，求的值； 设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由是函数的一个零点， 得，所以． 由得 ， 由，得， 而，令，得函数在上的单调递减区间为． 16.解：因为，，， 所以，得， 由，得， 所以，整理得， 因为，所以 因为，， 所以， 由，得，则， 所以， 因为与的夹角为， 所以， ，解得， 因为，所以 17.解：，， ≌， ， ， ， 设， 在中，，， 中，， ， ， ， ，； 令，， ， 当且仅当时，取得最大值，此时． 18.解： ， 所以； 因为，所以 ， 所以； 解： ， 所以， 又，，，所以， 所以 因为，所以，所以， 所以的取值范围为． 19.解： ， 所以． 依题意， 由得， 因为， 所以， 所以． 由题知，， 所以 ， 因为，， 所以，， 令， 所以，问题转化为函数的最值问 ... ...
