4.3 独立性检验（23页） 课件 2024-2025学年高二数学湘教版（2019）选择性必修2

4.3 独立性检验 本题中要得P(A)，P(B)， P(AB)的准确值需耗费巨大的人力、物力等，比较难确定，甚至是不可能的. P(AB)=P(A)P(B) 任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生. 如果事件A，B独立，P(A)，P(B)， P(AB)满足的充要条件是什么？ P(A)，P(B)，P(AB)的准确值易得吗? 如何判断A、B是否独立？ 1.通过实例了解独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解学生跑步情况.为此对学生跑步情况进行了抽查，抽查数据如下：共抽查110个学生，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有60人，其中女生20人.为了方便起见，把数据整理成如下的表格形式： 因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表. 问题：任意抽取一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生. (1)喜欢长跑的概率P(A)可以估计为多少？ 是女生的概率P(B)可以估计为多少？ 喜欢长跑且是女生的概率P(AB)可以估计为多少？ (2)可以利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立吗？为什么？ (2)不可以. 事件A与B独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)，通过概率的计算来判断两个事件是否独立.因为(1)中P(A)，P(B)，P(AB)都是根据样本数据得到的估计值，而估计是有误差的. 因此直接用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立是不合理的. (3)如果A与B独立，P(A)P(B)与P(AB)大小关系如何？由此理论上和实际上，喜欢长跑的女生数分别是多少？它们之间大小关系如何？ 如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值，这是从统计意义上做出的合理推断，即尽管随机性会对数据的准确性带来影响，但理论上，如果A与B是独立的，则这种影响也一定不会太大. 喜欢长跑的女生数 理论上： 实际上： 近似相等 (4)能否找到一个量或选用一个标准，来说明A，B之间的独立性是否成立？说说你的想法. 由(3)可知，如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值.因此 不会太大. 其值应该也不会太大. ① 为了减小随机性的影响做如下处理： 考虑 与B，A与 ， 与 ，可知 都不会太大. 若记①+②+③+④=χ2(读作“卡方”)，代入数据算得χ2≈7.8. ② ③ ④ 这也可以说成，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关. 概率学上可以证明，如果A与B独立，则χ2≥6.635的概率只有1%，即P(χ2≥6.635)=1%.因为算出的χ2值7.8大于6.635，所以若A与B独立(即“喜欢 长跑”与“是女生”独立)，则该事件发生的概率不超过1%. 问题1：若χ2≥6.635，关于事件A，B可以得到什么结论？χ2<3.841呢？ 若χ2≥6.635，查表得P(χ2≥6.635)=0.01，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为事件A，B有关；或有99%的把握认为A与B有关. 若χ2<3.841，查表的P(χ2≥3.841)=0.05，即没有充分证据显示事件A，B有关. 问题2：若χ2≥k成立，关于A，B可以得到的什么结论？χ2