专题6 数列中的最值问题 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考. （一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值 若数列满足,则单调递增,若满足,则单调递减,若时,时,时,则或时最大.若时,时,则时最大. 【例1】（2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列,满足,,． (1)求证：是常数列； (2)设,,求的最大项． 【解析】（1）,,,, ,,因此,数列是常数列； （2）由（1）,即,且,整理得. ,,, 当时,,, , ,,数列单调递减,的最大项为． 【例2】已知数列的前项和,且,. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最小项的值. 【解析】（1）,,则, 即, 当时,； 当时,； 经检验适合, （2）由（1）知： ,, , 当时,, 当时,；当时,； 又,,当时,有最小值. （二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值 若,且,则数列单调递增,若,且,则数列单调递减. 【例3】已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令,试问：数列是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由. 【解析】（1）解： 当时,, 所以, 又当时,也满足上式, 所以； （2）解：由（1）知, 当时, ,所以, 令,得, 当时,,即； 当时,,即； 当时,,即； 所以数列先增后减,有最大项且最大项为第8,9项. （三）利用函数单调性求数列项的最值 此类问题通常是把数列的通项转化为关于n的函数,然后利用函数的单调性求最值. 【例4】已知数列的前项和为,且满足,. (1)求,,,,并猜想的表达式（不必写出证明过程）； (2)设,,求的最大值. 【解析】（1）解：, 由,得,同理可得,, 所以猜想； （2）解：由（1）知,时,, 当时,满足上式, 所以, 所以,, 设,则有在上为减函数,在上为增函数, 因为,且,所以当或时,有最大值. 【例5】已知数列中,（,且）. （1）若,求数列中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的,都有成立,求的取值范围. 【解析】（1）当时,. 由的单调性可得当且时,数列单调递减,且有； 当且时,数列单调递减,此时,且有. 综上,数列中的最大项的值为,最小项的值为； （2）,已知对任意的,都有成立, 结合数列的单调性可得,解得. 因此,实数的取值范围是. （四）求等差数列前n项和的最值 在等差数列{an}中,若有最大值,可由不等式组来确定；⑵若有最小值,可由不等式组来确定.求等差数列前n项和的最值也可以把前n项和化为关于n的二次函数,通过配方求最值. 【例6】（2024届山东省春季高考二模）已知数列．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值． 【解析】（1）由,可知, 所以数列是以13为首项,以为公差的等差数列, 所以； （2）由（1）可知, 令,解得, 令,解得, 即数列从第5项开始小于0,所以数列的前4项和最大, 最大值为． 【例7】已知数列的前项和为,,． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值并指明相应的值． 【解析】（1）因为,即, 即,即, 所以数列是公差为的等差数列, 由,可得,解得, 所以； （2）由（1）可得, 当或时,取得最大值． （五）求等比数列前n项乘积的最值 各项均为正数的等比数列中,若,则当时等比数列的前n项积最大；若,则当时等比数列的前n项积最小. 【例8】已知等比数列的前项积为,若,,求取最大值时,的值. 【解析】设等比数列的公比为,则,解得,所以, 所以,所以当取得最大值时,可得为偶数, 而在上单调递减,；；,则,且, 当且为偶数时,, ,所以,所以时,取得最大值． （六）利用二次函数配方求最值 若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值. 【例9】已知数列的前项和,且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的 ... ...
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