专题1 数列中的证明问题 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1小题,本专题总结等差数列与等比数列及其他数列的证明常用方法及技巧. 利用等差数列定义证明数列是等差数列 利用定义法证明是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an＋1－an是同一常数． 【例1】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若,,成等比数列,求的最大值． 【解析】（1）数列满足①, 当时,有②, ①②可得：, 即,变形可得, 故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列, 若,,成等比数列,则有, 即,解得,所以, 所以单调递减,又当时,,当时,,当时,, 故当或时,取得最大值, 且． 【例2】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月高考模拟）已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列,并求； (2)令,求数列的前项和. 【解析】（1）由,知, 所以, 所以数列是以为首项,-1为公差的等差数列, 所以, 所以. （2）因为, 所以. (二)利用证明数列是等差数列 若对任意n∈N*,数列满足2an+1＝an＋2＋an,则是等差数列. 【例3】已知数列有,（常数）,对任意的正整数n,,并有满足． (1)求a的值； (2)证明数列是等差数列． 【解析】（1）由已知,得, 所以. （2）由得,则, 所以, 即, 于是有,并且有, 所以, 即, 而是正整数,,即, 所以数列是等差数列. (三)证明数列不是等差数列 证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明. 【例4】给定数列,若首项且,对任意的,都有,则称数列为“指数型数列”. (1)已知数列为“指数型数列”,若,求； (2)已知数列满足,判断数列是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”,且,证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 【证明】（1）因为数列是“指数型数列”,所以对于任意的, 都有.因为, 所以,. （2）数列是“指数型数列”. 证明:由,得,即, 所以数列是等比数列,且, 则, , 所以数列是“指数型数列”. （3）因为数列是“指数型数列”,故对任意的, 有,则,所以, 适合该式. 假设数列中存在三项构成等差数列,不妨设, 则由,得, 所以, 当为偶数且时,是偶数,而是奇数,是偶数, 故不能成立； 当为奇数且时,是偶数,而是偶数,是奇数, 故不能成立； 所以,对任意的,不能成立, 即数列中任意三项都不能构成等差数列. (四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列 利用定义法证明是等比数列,就是证明对任意n∈N*,是同一常数． 【例5】（2024届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段,已知点是线段上靠近的三等分点,点是线段上靠近的三等分点,……,点是线段（,）上靠近的三等分点,设点的横坐标为. (1)求证：数列为等比数列； (2)若,,求的通项公式. 【解析】（1）解：由题意得 所以,可得, 又由,所以 所以数列是首项为,公比为的等比数列. （2）解：因为,,所以, 因为数列是公比为的等比数列,所以时,. 由累加法可得时, ,即当时,, 经检验,满足上式,所以数列的通项公式. 【例6】（2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记为数列的前项和,已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)求最小的正整数,使得对一切都成立. 【解析】（1）由题知, 用替换上式的,得. 两式作差,,即. 而由,可得. 从而是首项为,公比为的等比数列. （2）由（1）得,于是, 设,则, 当时,,故, 两式作差,得. 整理可得. 故,又,因此满足条件的最小正整数为. (五)利用证明数列是等比数列 若对任意正整数n,都有 ... ...
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