专题3 数列求和 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,数列求和是数列中的两大基本题型题型之一,也是高考中的热点,本专题总结数列求和的基本方法,供大家参考. （一）等差数列求和 若一个数列为等差数列或可以转化为等差数列,求和时可以利用等差数列前n项和公式． 【例1】（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）设正项数列的前n项和为,已知. (1)求数列的通项公式； (2)设,求数列的前n项和. 【解析】（1）由,得①, 当时,,解得（负值舍去）. 当时,②, ①②,得, 化为, 因为,,解得, 所以数列是首项为3、公差为2的等差数列, 所以,即. （2）由（1）知,所以, 从而, 则,,…,, 以上n个式子相加,得. （二）等比数列求和 若一个数列为等比数列或可以转化为等比数列,求和时可以利用等比数列前n项和公式． 【例2】已知数列的前n项和为,,数列是公比为2的等比数列. (1)求 (2)若,求的前2n项的和. 【解析】(1) 数列是公比为2的等比数列,且, 所以, 当时, 所以. (2)因为为奇数时,n为偶数时, 所以的奇数项为0,偶数项构成公比为的等比数列, 所以的前2n项的和为. （三）倒序相加求和 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广,一般来说,若数列满足,求数列的前n项和,可用倒序相加法. 【例3】已知函数,数列满足,则数列的前2025项的和 【解析】因为,所以, 有. 记数列的前项和,又,所以 .所以. （四）裂项求和 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．(1)用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：＝(－), ,裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项． 【例4】（2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足,且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）因为为等差数列,且,所以． 又是与的等比中项,所以,即． 化简得,解得或（舍）, 所以． （2）（i）由,得,所以（）,又, 当时, , 又也适合上式,所以, 则, 所以． （ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列, 则,即,整理得, 显然是25的正约数,又,则或, 当,即时,与矛盾； 当,即时,,符合题意, 所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,． 拓展：裂项求和常见变形 1. =. 2. =. 3. =. 4. =. 5. = = =. 6. = 7. =-+-+ +- =1-. 8. = 9. = 10. = = 11. = = 12． = = 13. = = 14. ++++ =+++ = 15.若是各项均不为零,且公差的等差数列,则 == （五）错位相减法求和 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．错位相减法求和时的注意点: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 【例5】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）已知数列的前n项和为,且,,设． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）,即, 即,则,即, 即,又, 故数列是以为首项、以为公比的等比数列. （2）由（1）易得,即,则, 则, 有, 则 , 故. （六）为等差（比）数列,可并项求的前n项和 若,为等差数列或等比数列,求的前n项和可以采用,即把相邻两项的和看作一项,构造一个新数列求和 【例6】若数列满足. （1）求数列的前100项的和； （2）若,求数列的前31项的和. 【解析】（1）数列的前100项的和为 =. （2）若,数列的前31项 ... ...
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