2025年高考数学压轴题训练（新高考版）专题09 一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）（学生版+教师版）

专题09 一元函数的导数及其应用 （利用导数研究函数零点（方程的根）问题） 目录 一、判断零点（根）的个数 1 二、已知零点（根）的个数求参数 9 三、已知零点（根）的个数求代数式的值 18 一、判断零点（根）的个数 1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 【答案】A 【优尖升-分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解. 【详解】， 令，则， 则函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 当时，， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 又当时，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可知函数的图象有且仅有一个交点， 所以函数零点的个数为个. 故选：A. 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【优尖升-分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当时，，画出函数图象，得到与的图像有2个交点，从而求出答案. 【详解】 ，函数定义域为， ， 令，解得或；令，可得或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，取得极大值；当时，取得极小值； 因此，函数的大致图像如图所示， 因为，所以与的图像有2个交点， 可知方程有2个解. 故选：C 3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，讨论函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间. （2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 若，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 若，由，得或， ①当时，，则函数在上单调递增； ②当时，，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； ③当时，，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）当时，函数只有一个零点， 当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，， 取且，则， 因此函数有两个零点； 当时，由（1）知函数在上递增，且，， 而时，恒有，因此函数只有一个零点， 当时，由（1）知函数在上递减，在上递增， 且， 而时，恒有，因此函数只有一个零点， 所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数． 【答案】(1)2 (2)有且只有一个零点 【优尖升-分析】（1）对函数求导，令，研究的正负，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值； （2）根据题意可得，求出，令，根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到的单调性及极大值，数形结合可得函数的零点个数. 【详解】（1）解法一：由题，， 所以． 记，则， ①当时，，可得，故函数在区间上单调递减． ②当时，，可知函数单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故． 解法二：由题，， 所以． 令，则， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 所以，故在定义域上单调递增． 易知，故当时，单调递减， 当时，单调递增， 故． （2）由题意知，定义域为， 所以， 设， 所以，所以在区间上是增函数， 因为， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，； 当时，； 当时，， 所以在区间 ... ...