2025年高考数学压轴题训练（新高考版）专题06 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）（学生版+教师版）

专题06 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题） 目录 一、导函数有效部分为一次型 1 二、导函数有效部分为类一次型 3 三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 5 角度1：最高项系数含参 5 角度2：最高项系数不含参 8 四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 12 五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 15 一、导函数有效部分为一次型 1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【优尖升-分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别得出函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，则在上单调递减 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减； 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见详解 【优尖升-分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性； 【详解】（1）由，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【优尖升-分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【详解】（1）依题意，， 当时，， 当时，由得，由得， 即当时函数在是减函数； 当时在是减函数，在是增函数； 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【优尖升-分析】（1）对求导后，令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解； 【详解】（1）， 令，则， 若，则，从而，所以即在定义域内单调递增， 若，则当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数. 二、导函数有效部分为类一次型 1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【优尖升-分析】求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性. 【详解】由题意可得：函数的定义域为，， （i）当时，恒成立，在上单调递增； （ⅱ）当时，令，解得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【优尖升-分析】由题意可得，按和的取值分类讨论的正负即可得到的单调性； 【详解】由题意，令，得， 当时， 若，则，所以， 若，则，，所以； 当时， 若，则，所以， 若，则，，所以； 综上，在单调递减，在单调递增. 3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数． （1）求函数的单调区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【优尖升-分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果； 【详解】（1）， 当时，在R上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数， 当时，则在上单调递增； 当时，令，得． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在内单调递减，在单调递增． 5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）， 分当时，恒成立，在 ... ...