中小学教育资源及组卷应用平台 【能力提升】平行四边形压轴题型专训 【例题一 平行四边形的判定与性质压轴题】 1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得； 对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误； 对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③； 对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确； 对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 所以①正确； 四边形是平行四边形， ，，， 在中，， ， ， ， 所以②错误； 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； ，， ， 即垂直平分， 所以④正确； 假设，则， ， ， ， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 故， 所以⑤错误； 综上所述，成立的结论是①③④， 所以成立的个数是3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及反证法，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 【答案】 【分析】作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于. ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴; ∴, ∵，, ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练行四边形中，点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、交于点，的垂直平分线交于，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形以及等边对等角得到，而，即可证明； （2）得到，由的垂直平分线交于得到，则，而，再由外角证明，即可证明全等； （3）过点作于点，过点作交于点，导角证明，再多次使用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）证明：如图， ∵由上知， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴， 由上得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，过点作交于点， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿 ... ...
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