9.1二次根式和它的性质 同步练习（3课时，学生版+答案版）2024-2025学年数学青岛版八年级下册

商的算术平方根 商的算术平方根，等于__被除式的算术平方根除以除式的算术平方根__，如＝____(a≥0，b>0)． 商的算术平方根中除数b不能为0. 最简二次根式 最简二次根式要满足两个条件：(1)__被开方式中都不含分母__；(2)__被开方式中都不含有能开得尽方的因式__． 二次根式化简的结果都要化成有理式或最简二次根式．被开方式相同的二次根式叫做同类二次根式． 最简二次根式的识别 典例1 [2024·东营期末]下列各式是最简二次根式的是( D ) A. B. C. D. 变式 [2024·烟台期中]在根式① ②　③　④中，最简二次根式是( C ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 商的算术平方根 典例2 把下列各式化成最简二次根式： (1)；(2)b；(3). 根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义即可求出答案． 解：(1)＝＝； (2)b＝b＝　； (3)＝＝. 变式 把下列各式化成最简二次根式： (1)；(2)；(3)(a＞0，b＞0)； (4)x2(x＞0)． 解：(1)＝　； (2)＝＝； (3)＝＝； (4)x2＝x2＝. 1．[2024·赣州期末]下列二次根式中是最简二次根式的是( A ) A. B. C. D. 2．下列二次根式：，，，，2，，中，最简二次根式的个数是( C ) A．5 B．4 C．3 D．2 3．[2024·滨州期末]下列各式化成最简二次根式正确的是( D ) A.＝ B.＝5 C.＝ D.＝ 4．[2024·烟台期中]将化为最简二次根式为____． 5．把下列各式化为最简二次根式： (1)；(2)；(3). 解：(1)＝＝　； (2)原式＝＝＝＝； (3)原式＝＝＝.二次根式的性质 1．()2＝a(a≥0)． 2.＝__|a|__． ()2中a≥0，结果是唯一的；中a可为任意实数，结果分a≥0和a<0讨论． 积的算术平方根 积的算术平方根，等于__积中各因式的算术平方根的积__，如＝__·__(a≥0，b≥0)． ＝|a|性质的应用 典例1 [2024·临沂期末]已知k>1，则－()2的化简结果是( B ) A．－1 B．－3 C．－1－2k D．2k－3 根据题意先得出1－k<0，再化简二次根式，计算乘方，最后合并同类项即可． 变式 [2024·东营期末]实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＋－的结果是( B ) 变式图 A．－2 B．2a C．2b D．0 积的算术平方根 典例2 化简： (1)；(2)；(3)；(4). 根据积的算术平方根公式进行化简． 解：(1)＝×＝5×4＝20； (2)＝＝9； (3)＝＝2； (4)＝＝4|x|. 变式 化简： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)＝×＝3×4＝12； (2)＝×＝4×9＝36； (3)＝×＝9×10＝90； (4)＝＝×＝3　. 1．将化简，正确的结果是( A ) A．6　 B．±6　 C．3　 D．±3　 2．下列化简正确的是( B ) A.＝×＝6 B.＝×＝18 C.＝＋＝ D.＝×＝ 3．化简下列各式： (1)＝__10__； (2)＝__42__； (3)＝__0.45__； (4)－＝__－3____； (5)＝__a__； (6)(m>0)＝__3m__． 4．[2024·聊城期中]实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋的结果是__－2a__． 第4题图 5．[2024·日照期中]已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：＋＋＋. 解：由三角形三边之间的关系可得：a＋b＋c>0，b＋c>a，a＋c>b，a＋b>c， ∴a－b－c<0，b－a－c<0，c－b－a<0， ∴原式＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)－(c－b－a) ＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋b＋a ＝2a＋2b＋2c.二次根式的定义 形如__ __的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方式． 其中a为整式或分式，像－，4　也是二次根式． 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是被开方式是非负数，即在中，a≥0.确定被开方式中所含字母的取值范围时，可根据二次根式有意义的条件列出不等式(组)，然后通过解不等式(组)确定所含字母的取值范围． 二次根式的性质 ()2＝__ __(a≥0)． 在等式()2＝a(a≥0)中，a　，()2都是非负数． 二次根式的定义 典例1 下列各式中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 变式 [2023春·宁阳期中]给出下列各式： ①　②6　③　④(m ... ...