圆与三角形的综合(圆的综合问题)? 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考 一、解答题 1．如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 2．在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点． (1)如图①，当时，求和的大小； (2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长． 3．如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点E． (1)证明：； (2)若； ①证明：是的切线 ②如图2连接交于点F，连接，求的度数 5．已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接． (1)如图①，求的大小和的长； (2)如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长． 6．综合探究 如1图、2图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长至点D，使得，过点D作于点E，连接． (1)如1图，当点E与点O重合时，求证：是等边三角形； (2)如2图，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，求证：． (3)当时，求的长． 7．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 8．如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请你添加一个条件 ，使四边形为菱形． (3)在（2）的条件下，若，求的长． 9．已知四边形为的内接四边形，为直径，弦、相交于点，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，作，与的延长线交于点，与的延长线交于点，交于点．求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接交于点，，，，求的半径． 10．内接于半径为的，且． (1)如图，求证：； (2)如图，在弧上，，交延长线于，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交延长线于，若，，求的长． 参考答案 1．(1)见解析 (2) 本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键． （1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明； （2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解． （1）（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2），， 利用勾股定理求得， ， 设半径为， 在中，由勾股定理得：， 即 解得：， 的半径为． 2．(1)， (2) （）根据等腰三角形的判定与性质可知，最后利用平行线的判定与性质以及切线的性质即可解答； （）根据等边三角形的判定与性质可知，再利用切线的性质及角平分线的判定可知，最后利用锐角三角函数及平行线的判定与性质即可解答． （1）解：连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线，是的切线， ∴， ∴，，又， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质以及切线的性质是解题的关键． 3．(1) (2)见解析 (3)存在， （1）根据四边形为的内接四边形，可得，再由等腰三角形的性质即可求解； （2）由，，可得，进而证明，结合（1）中，可证，即可得证； （3）若，则，此时为中点，设，则，结合（2）中结论 ... ...