A级 基础巩固 1.甲、乙两人参加一次考试,如果他们合格的概率分别为,,那么两人中恰有1人合格的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析:将两人中恰有1人合格(记为事件A)分为“甲合格,乙不合格”(记为事件B),“乙合格,甲不合格”(记为事件C), 因为P(B)=×=,P(C)=×= , 所以P(A)=P(B)+P(C)=. 答案:B 2.多选题甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是 ( ) A.目标恰好被命中一次的概率为+ B.目标恰好被命中两次的概率为× C.目标被命中的概率为×+× D.目标被命中的概率为1-× 解析:目标恰好被命中一次的概率为×(1-)+(1-)×,故A项错误. 由相互独立事件概率乘法公式,得目标恰好被命中两次的概率为×,故B项正确. 目标被命中的概率为1-(1-)×(1-)=1-×,故C项错误,D项正确. 答案:BD 3.(2024·广东东莞期末)假设P(A)=,P(B)=,且A与B相互独立,则P(A)=. 解析:因为P(A)=,P(B)=,则P()=,又A与B相互独立,则A与相互独立,则P(A)=P(A)·P()=×=. 4.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.若甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为,,,且他们是否破译出密码互不影响,则至少有1人破译出密码的概率是. 解析:依题意,设事件A表示至少有1人破译出密码,则事件A的对立事件表示三人都没有破译密码,则P(A)=1-P()=1-(1-)×(1-)×(1-)=. 5.如图所示,A,B,C表示某系统中的三个元件,元件A,B中至少有一个正常工作,系统才可以正常工作.设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,求该系统正常工作的概率. 解:设事件A表示元件A正常工作,事件B表示元件B正常工作,事件C表示元件C正常工作,则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,系统正常工作分成两个步骤,C正常工作且A,B至少有一个正常工作,A,B至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,所以这个系统正常工作的概率为P=0.7×0.98=0.686. B级 能力提升 6.(2023·佛山一模)已知事件A,B,C的概率均不为0,则P(A)=P(B)的充要条件是 ( ) A.P(A∪B)=P(A)+P(B) B.P(A∪C)=P(B∪C) C.P(A )=P( B) D.P(AC)=P(BC) 解析:因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),由P(A∪B)=P(A)+P(B),只能得到P(A∩B)=0,并不能得到P(A)=P(B),故选项A错误;因为P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C),P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C),由P(A∪C)=P(B∪C),只能得到P(A)-P(A∩C)=P(B)-P(B∩C),由于不能确定A,B,C是否相互独立,故无法确定P(A)=P(B),故选项B错误;因为P(A )=P(A)-P(AB),P( B)=P(B)-P(AB),又P(A )=P( B),所以P(A)=P(B),故选项C正确;若A,B,C相互独立,则P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则由P(AC)=P(BC)可得P(A)=P(B),但由于不能确定A,B,C是否相互独立,所以由P(AC)=P(BC)无法确定P(A)=P(B),故选项D错误;故选C. 答案:C 7.某班甲、乙、丙3名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为,则甲、乙、丙3名同学中,恰有1名同学当选的概率为. 解析:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则 P(A)=,P(B)=,P(C)=. 因为A,B,C相互独立,所以甲、乙、丙3名同学中,恰有1名同学当选的概率为P(A )+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=××+××+××=. 8.某市准备在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; (2)求至少有一个项目成功的概率. 解:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××(1-)=, 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×(1-)×=, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1-)××=, 所以恰有两个项目成功的概率为++=. (2)三个项目全部失败的概率为(1-)×(1-)×(1-)=, 所以至少有一个项目成功的概率为1-=. 9.某项选拔共有四轮 ... ...
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