小题狂作精选习题——球体（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 小题狂作精选习题———球体 一、选择题 1．（2025高三下·深圳月考）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湛江模拟）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（　　）． A． B． C． D． 3．（2025·辽宁模拟）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 4．（2025高二上·哈尔滨期末）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（　　） A．直线平面 B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积 5．（2025·清江浦模拟）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（　　） A．该正八面体的外接球的体积为 B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C．甲能构成正三角形的概率为 D．甲与乙均能构成正三角形的概率为 6．（2025高二下·武汉月考）已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．直三棱柱的外接球的表面积为 7．（2025·成都模拟）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．当为的中点时， B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 8．（2025高三下·灌云月考）如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（　　） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题 9．（2025高一下·西湖月考）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，　 　． 10．（2025·攀枝花模拟）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】【解答】解：设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得，即，， 可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故答案为：D. 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质和线面夹角可得且以及内切球的半径，再结合圆台的表面积公式和球的表面积公式，从而得出此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比. 4．【答案】B,C,D 5．【答案】A,B,D 6．【答案】A,B,D 7．【答案】A,C,D 8．【答案】A,B,D 9．【答案】 10．【答案】 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...