第五章 数列 5.5 数学归纳法 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.了解数学归纳法的原理. 2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤. 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 早在春秋战国时期，军事指挥官们就发明了设置烽火台用以报警的方法，假定在西边第一个烽火台发现了了敌情，要使由西到东每一处都知道就需要发布两道命令： 1.第一个烽火台必须首先点火. 2. 看到第一个点后，第二个必须立即点火，当看到第二个烽火台点着，第三个必须立即火，……不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火. 如果把烽火台编号为1，2，3……，类比烽火台传递军情的过程，你能用数学语言表述上面两个命令吗？ 1.第一个烽火台必须首先点火； 2.不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火。 当n= 1时，（点着）猜想成立 假设当n= k 时，猜想成立 则当n= k+1 时，猜想也成立 那么n?∈?????均成立 ? 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 两个步骤 一个结论 缺一不可 问题1：甲同学猜想1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2?1 用数学归纳法证明步骤如下： ? 证明：假设n= k 时等式成立，即 当n= k+1 时 即n= k+1时等式成立。 所以等式对一切自然数 ????∈??????均成立. ? 上述证法是正确的吗？为什么？ 1+3+5+……+(2?????1)+(2????+1)=????2?1+(2????+1)=(????+1)2?1 ? 是错误的，事实上命题本身就是错误的， 当n=1时，左边=1，右边=0，左边与右边不等. 问题2：乙同学用数学归纳法证明??1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2，如采用下面证法，对吗？为什么？ ? 证明：（1）当n=1时，左边=1=右边 （2）假设当n=?????时，等式成立， 即1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2 则当n=?????+1 时，1+3+5+……+2????+1= (????+1)1+(2????+1)2=????+12 ? 即n=?????+1 时，命题成立 ? 根据①②可知,对n?∈????? ,等式成立. ? 上述证明没有用到n= k 命题成立这一假设 正解：1+3+5+……+2?????3+(2?????1)+(2????+1)=????2+(2????+1)=(????+1)2 ? 问题3：讨论2????与 ????2的大小 ? 用数学归纳法证明，第一个取值为5. 猜想： n 满足什么条件时，2????> ????2 ? 恒成立？ 21>12 ? 22=22 ? 23<32 ? 24=42 ? 25>52 ? 26>62 ? 27>72 ? 28>82 ? 结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无. 结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定. 结论2：在第二步中证明n=k+1命题成立时,必须用到n= k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 例1 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 C (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则n＝k＋1时，在n ＝k时的左端应加上_____. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2， n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 例2 用数学归纳法证明：如果{????????}是一个公差为????的等差数列，那么，????????= ????1 +?????1???? ①对任何????∈?????都成立. ? 证明：（1）当????=????时，左边=????1?，右边= ????1 +0×????=????1,①式成立. （2）假设当????=????(????∈N?)时， ①式成立，即????????= ????1 +?????1????, 根据等 ... ...
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