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课件网) 2.1 导数的概念 1 导 语 同学们，回顾上节课的内容，在解决问题时，我们都运用了“平 均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法。比如，当大家经过红 绿灯路口时，测速探头会在极短的时间内拍摄两次，通过计算这两次 拍摄之间的位移来判断车速，其原理正是基于无限逼近的思想。今天， 我们将继续运用这种思想方法，研究更一般的问题。 导数的概念 1.设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x 时，函数值y从f(x )变 到f(x ),函 数值y 关于x的平均变化率为 平均变化率的极限 2.当x 趋 于x, 即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个 值就是函数y=f(x)在点x 的 瞬时变化率 3.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x) 在点x, 处的_ 导数 ,通常用符号 f(x,)表示，用极限符号表示这个定义，记作： 第3页 微提醒 (1)函数应在x 的附近有定义，否则导数不存在. (2)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x) 在x=x 及其附近的函数值有 关，与△x 无关. (3)导数的实质是一个极限值. 第4页 课堂练习 练习1 根据导数的定义，求函数y=f(x)= x +3 在x=1 处的导数。 解：∵△y=f(1+△x)-f(1)=[(1+△x) +3]-(1 +3)=2△x+(△x) , 第5页 反思感悟 根据定义求导数的步骤： 第一 步，求函数的变化(增量):对于函数y=f(x), 自变量的增量是△x , 相应的函数值的增量是△y=f(xo+△x)-f(x ) . 第 二步，求平均变化率(增量之比): 第三步，求瞬时变化率(增量之比的极限): 一差、二比、三极限 第6页 A.-4f(x ) B.f(x ) C. 4f(x ) 例1 设f(x) 在xo可导，则 大本P 58 第7页 是 一 个局部概念，它只与函数y=f(x) 在 x=xo 及其附近的函数值有关，与 △x 无 关 . 瞬时变化率的常见变形形式： 反 思 感 悟 导 数 的 形 式 化 计 算 的 本 质 就 是 对 导 数 概 念 的理解 . 需要说明的是导数 lim △x→0 课堂练习 题型：导数公式的形式化计算 练习2 若函数y=f(x)在x=xo 处可导，则 等于 【思路分析】 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求 解，需明确△x, △y 的含义. ( ) A.f(xo) C.-2f(xo) P .2f(xo) D.0 第9页 课堂练习 【 解 析 】 方 法 一 ： f'(xo)+f'(xo)=2f'(xo). (xo). 第10页 对点练 1. 已知函数f(x)可导，且满足 ,则函数y =f(x) 在x=3 处的导数为 A.-1 B. 一 2 C.1 D.2 解析 因为 所以f(3)= -1, 故选A. 则f(xo)=( ) A.2 B.—1 C. , 1 D. 一 2 【 解 析 】 思考题3 (1)设f(x)是可导函数，且 课堂练习 第12页 课堂练习 (2)若f(xo)=2, 值 . 【解析】 令—k=△x, ∵k→0,∴△x→0. 则原式可变形为 第13页 问题3.一质点的运动位移s(单位：m) 是关于时间t(单位：s)的函数：s=s(t) =-2t+3. 根据导数的定义你能求出s'(1),并解释它的实际意义吗 提示： . 当△t 趋于0时， 于 - 2 , 则 s'(1)=-2 m/s, 导数s'(1)=-2 m/s 表示该质点在 t=1 时的瞬时速度. 问题导思 □ 新知构建 对于函数f(x),f(x ) 的意义就是函数f(x) 在x=x 处的 瞬时变化率 例2(1)已知函数y=f(x)=2x +1. 求函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率. 解：△y=f(2+△x)-f(2)=2(2+△x) +1-(2×2 +1)=2(△x) +8△x. 所1 故函数f(x)在x=2 处的瞬时变化率为 =lim(2△x+8)=8. 故当△x 无限趋近于0时， 无限趋近于0, 即当x=1 时，函数 的导数为0 . (2)求函数 x=1 处的导数. 解 ： 因 为 1. 求瞬时变化率的主要步骤 第一步：先计算函数值的改变量△y=f(x )- f(x ); 第二步：再计算自变量的改变量△x=x -x ; 第三步：得平均变化 规律方法 第四步：得瞬时变化率 2. 由导数的定义，求函数y=f(x) 在点x,处的导数的步骤 第一步：求函数值的增量△y=f(x +△x)-f(x ); 第二步：求平均变化 第三步：取极限，得导数 规律方法 A.—4 C.—2 ... ...
