7.3* 复数的三角表示 [学习目标] 1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． [讨论交流] 预习教材P83－P88的内容，思考以下问题： 问题1．复数的三角形式是什么？辐角、辐角的主值是如何定义的？ 问题2．复数乘法、除法的三角表示及其几何意义分别是什么？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 复数的三角表示式 探究问题1 回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y [提示] 由三角函数的定义可知：sin θ＝，cos θ＝，所以y＝r sin θ，x＝r cos θ． 探究问题2 如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么 (1)向量的大小如何表示？ (2)向量的方向如何表示？ [提示] (1)||＝； (2)可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来刻画的方向． 探究问题3 根据探究问题2，思考如何用复平面内向量的大小和方向去表示复数z＝a＋bi(a，b∈R) [提示] 记向量的模||＝|a＋bi|＝r，由探究问题2中的图可知 所以a＋bi＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ表示了复数z． [新知生成] 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 【教用·微提醒】 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 【链接·教材例题】 例1 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)＋i； (2)1－i． 分析 只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式． [解] (1)复数＋i对应的向量如图7.3-2所示，则 r＝＝1，cos θ＝． 因为与＋i对应的点在第一象限， 所以arg＝． 于是＋i＝cos ＋isin． (2)复数1－i对应的向量如图7.3-3所示，则 r＝＝，cos θ＝＝． 因为与1－i对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝． 于是1－i＝． 当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值． 例如也是1－i的三角形式． 【链接·教材例题】 例2 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： (1)cos π＋isin π； (2)6． [解] (1)复数cos π＋isin π的模r＝1，一个辐角θ＝π，对应的向量如图7.3-4所示．所以 cos π＋isin π＝－1＋0i＝－1． (2)复数6的模r＝6，一个辐角θ＝，对应的向量如图7.3-5所示．所以 6＝6cos ＋i ＝6×＋6×i ＝3－3i． [典例讲评] 1．(源自北师大版教材)请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值)： (1)＋i；(2)1－i；(3)－1． [解] (1)因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝，所以θ＝，于是＋i＝2． (2)因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝，于是1－i＝． (3)因为r＝＝1，cos θ＝－1，sin θ＝0，所以θ＝π，于是－1＝cos π＋isin π． 将复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式． [ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
