10.2 事件的相互独立性 [学习目标] 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念． 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． [讨论交流] 预习教材P249－P252的内容，思考以下问题： 问题1.事件的相互独立性的定义是什么？ 问题2.相互独立事件有哪些性质？ 问题3.相互独立事件与互斥事件有什么区别？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 相互独立事件的概念 探究问题1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”． (1)你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ (2)计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ [提示] (1)事件A发生与否不会影响事件B发生的概率． (2)用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B)． 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积． [新知生成] 相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 【教用·微提醒】 事件A与事件B相互独立就是：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率． 【链接·教材例题】 例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ [解] 因为样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}， A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}， B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， 所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝. 此时P(AB)≠P(A)P(B), 因此，事件A与事件B不独立． [典例讲评] 1．(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． [解] (1)有两个小孩的家庭，样本空间 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率各为，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}． 于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝. 由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不独立． (2)有三个小孩的家庭，样本空间 Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个样本点的概率均为，这时A含有6个样本点，B含有4个样本点，A∩B含有3个样本点，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝. 显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是独立的． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件． [学以致用] 1．(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是( ) A．掷一枚骰子一次，事件M＝“出现偶数点”，事件N＝“出现3点或6点” B．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球” C．袋中有3个白球、2个黑球，从中依次不放回地摸2个球， ... ...
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