2024-2025学年安徽省临泉县田家炳实验中学高三（下）4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为纯虚数，且，则( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 2.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 3.直线与圆相交的充分不必要条件可以是( ) A. B. C. D. 4.毕业前夕，某高中高三班科技创新兴趣小组的名同学与名辅导老师，共人合影留念，站成前后相对应的两排，每排人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻仅包括正前后或左右，则不同站法种数为( ) A. B. C. D. 5.函数的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 6.某校为了促进学生文化学习和体育活动协调发展，对高一年级学生每周在校体育活动时长单位：小时进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 频率 则高一年级学生每周体育活动时长的第百分位数约为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线：，过点为的焦距作直线与的一条渐近线平行，直线与交于点，若点到轴的距离为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 8.如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点重合于点，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 10.如图，在直三棱柱中，，则( ) A. 平面平面 B. 的长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 直三棱柱的外接球的表面积为 11.已知定义在上的函数满足是偶函数，且当时，且，则( ) A. B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12.已知集合，，则 _____． 13.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，，则的内切圆半径为_____；若的内切圆与三边相切的切点分别为，，，则的面积为_____． 14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，直线与轴的交点为，过点作于点，，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为了估计一个小池塘中鱼的条数，池塘主人先从中打捞出条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出条鱼，发现有记号的鱼有条． 试估计的值； 对于中的估计值，若在这条鱼中，种鱼有条，从条鱼中打捞出条，用表示其中种鱼的条数，求的分布列和数学期望． 16.本小题分 在直三棱柱中，点在上，，是上的一点，，，． 若是的中点，求证：平面． 在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确： 三棱锥的体积是； 截面将三棱柱分成的两部分的体积的比为：； 平面与平面所成角的余弦值为． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 17.本小题分 已知数列的前项和为，，． 求数列的通项公式； 设，记数列的前项和为，求证：． 18.本小题分 已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的切线，一条切线长为． 求抛物线的方程； 若是圆上的动点，，是抛物线的两条切线，，是切点，若直线的斜率为，求直线在轴上的截距． 19.本小题分 已知函数，． 求函数的单调区间； 若存在，当时，，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：已知小池塘中鱼的条数为， 由分层随机抽样方法得， 解得； 由题意可知，的可能取值为，，，， 所以，，，， 所以的分布列为： 所以． 16.证明： 在中，因为，， 所以，， 因为，所以是等腰直角三角形，则可得， 在上取点，使，因为， 所以是等腰直角三角形，则，所以， 连接，易知四边形为矩形，所以， 因为，平面，所以平面，平面， 又因为，，平面， 所以平面平面，因为平面，所以平面； 选证明正确， 三棱锥的体积为：， 得，所以， 则三棱锥的体积， 而三棱柱的 ... ...
