山西省太原市2024-2025学年第二学期期中学业质量监测高二数学试卷（图片版，含答案）

2025 高二第二学期期中试题 一．选择题： B C D A D C C D 二．选择题： 9.BD 10.ACD 11.ACD 三．填空题: 12. (0, ) 13.30 14.[ 1, ) 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 2 15.解:（1）由题意得 f (x) x 2x 3 (x 3)(x 1) , ………2 分 令 f (x) 0，则 3 x 1；令 f (x) 0，则 x 3或 x 1， f (x)的单调递减区间为 ( 3,1)，单调递增区间为 ( , 3)和 (1, )； ………6分 （2）由（1）得 f (x)在 ( 3,1)上单调递减，在[ 4, 3]和[1,2]上单调递增， ………8 分 f ( 4) 6， f ( 3) 25 7 ， f (1) ， f (2) 0， 3 3 f (x) 7 25的值域为[ , ]. ………13分 3 3 16.解:（1）由题意得 Sn 1 2an 1 2， Sn 1 Sn 2an 1 2an， an 1 2an， {an}是公比为 2的等比数列， 当 n 1时，a1 S1 2a1 2， a1 2 a a q n 1 2n， n 1 (n N *) . ………6 分 n （2）由（1）得 an 2 ，b1 a1 1 1，b4 a2 4， ………8 分 设数列{bn}的公差为 d ，则b4 b1 3d 1 3d 4， d 1， bn n(n N *) a n *， nbn n 2 (n N )， Tn a1b a 2 1 2b2 anbn 1 2 2 2 3 2 3 n 2n，① ………11 分 2Tn 1 2 2 2 23 3 24 n 2n 1，② T 2 22 23 2n n 2n 1①-②得 n 2 n 1 2 n 2n 1， Tn (n 1) 2 n 1 2 . ………15分 x 2 17.解：（1）由题意得 f (x) e (x 2)， x R， ………2 分 令 f (x) 0，则 x 2 或 x 2；令 f (x) 0，则 2 x 2， f (x)在 ( , 2)和 ( 2, )上单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减， ………4 分 当 x 2时， f (x) 2(1 2)有极大值 f ( 2) ， e 2 当 x 2 2时， f (x)有极小值 f ( 2) 2(1 2)e . ………6 分 （2）由（1）得 f (x)在 ( , 2)和 ( 2, )上单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减， 当 x ( , 2)时，当 x 时， f (x) 0，0 f (x) f ( 2(1 2) 2) ；……9分 e 2 当 x ( 2, 2)时， f ( 2) 2(1 2)e 2 f (x) f ( 2) 2(1 2) ，且 f (0) 0； e 2 当 x ( 2, )时，当 x 时，f (x) 2，f (x) f ( 2) 2(1 2)e ，且 f (2) 0， 实数 a的取值范围为 (2(1 2)e 2 ,0] {2(1 2)} . ………15 分 e 2 18.解：（1）证明：当 n 1 a 1 1时，则 1 P1 1 a1， a1 ， 2，2 1 a1 P P 1 a 1 a ， a n 1 n 1 1n 1 n 1 n 1 ， an 1 ，Pn 1 an 2 an 1 1 1 1 1 1 1 ， 1，1 an 1 1 1 an 1 an 1 1 an 2 an 1 { }是以首项为 2、公差为1的等差数列. ………4 分 1 an 1 n 1 2n ,n是奇数, （2）由（1）得 n 1， an ，P1 a n ， bn ……6 分 n n 1 n 1 n 1,n是偶数, 当 n为偶数时， Sn (b1 b3 bn 1) (b2 b4 bn ) n 2 (2 23 2 (1 4 ) (n 4) n 2n 1) [3 5 (n 1)] 1 4 2 2 2 1 (2n 1) n(n 4)； ………9 分 3 4 当 n为奇数时， Sn (b1 b3 bn ) (b2 b4 bn 1) n 1 2 (2 23 2n ) (3 5 n) 2 (1 4 ) (n 3) n 1 1 4 2 2 2 (2n 1 1) 1 (n 1)(n 3)； 3 4 2 n 1 (2 1) n(n 4),n是偶数, S 3 4 ………12 分n 2 (2n 1 1 1) (n 1)(n 3),n是奇数. 3 4 n （3）由（2）得 an ，a 1 2n 1 k 3 5 7 2n 1 1n ，原不等式等价于 ，n 1 n 1 2 3 4 n 1 n 1 令 f (n) 3 5 7 2n 1 1 3 5 7 n N*, ,则 f (n 1) 2n 3 1 ， 2 3 4 n 1 n 1 2 3 4 n 2 n 2 f (n 1) (n 1)(2n 3) 2 1 n n 1 1， f (n 1) f (n) , f (n) (n 2)2 (n 2)2 3 3 { f (n)}单调递增， k f (1) ， 实数 k的最大值为 . ………17 分 4 4 19.解：（1）当 a 1时， f (x) x ln(x 1)， x 1， 则 f (x) 1 1 x ， f (1) 1 ， f (1) 1 ln 2， x 1 x 1 2 曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 1处的切线方程为 y x ln 2 1 . ………4 分 2 2 1 f (x) x(ax 2a 1) ax(x 2 ) （2）由题意得 a2 2 ， x 1， ………5 分(x 1) (x 1) 1 1 ①当 2 0时，即0 a 时， a 2 f (x)在 ( 1,0) (1 1和 2, )上递增，在 (0, 2)上递减； a a 1 1 x2 ②当 2 0时，即 a 时， f (x) 2 0， f (x)在 ( 1, )上递增，a 2 2(x 1) 1 1 ③当 1 2 ... ...