山东省名校2025届高三4月校际联合检测数学试卷（含答案）

山东省名校2025届高三4月校际联合检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( ) A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，且，则( ) A. B. C. D. 4.已知，为单位向量，且，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，则( ) A. B. C. D. 6.已知随机变量，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.若函数有个零点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. 两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则 B. 已知变量，的对样本数据，，，，，变量，的线性回归方程为，若，，则 C. 若随机变量服从二项分布：，则 D. 某学生次考试的数学成绩分别为：，，，，，，，，则这次数学成绩的分位数为 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则( ) A. 的周长为 B. 若直线经过点，则的最小值是 C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为 D. 若点是椭圆上的任意一点，点是圆上的任意一点，则的最大值为 11.已知函数，则( ) A. 函数的值域为 B. 函数在处的切线方程为 C. 若函数的图象关于点对称，则点的坐标为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式的展开式中含项的系数为 ． 13.已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 14.已知直线与曲线相切，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，函数． 求函数的单调递增区间； 在中，若，，且的面积为，求． 16.本小题分 如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，． 求证：平面； 若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知函数，． 讨论的单调性； 证明：当时，． 18.本小题分 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． 求的标准方程； 若点是上第一象限的动点，过点作直线不与渐近线平行，若与只有一个公共点，且与轴相交于点． 证明：； 若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 19.本小题分 “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． 求的值； 随机变量的分布列和期望； 求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为 ， 所以． 由，得，， 所以的增区间为． 由，得， 因为，所以，所以，即， 因为，所以，因此， 又，所以， 即， 所以， 即． 16.解：方法一：如图，在线段上取一点，使， 由已知，，且， 在线段上取一点，使， 由已知，，且， 所以，且，因此四边形为平行四边形， 所以，又平面，且平面，所以平面． 方法二：如图，连接并延长交于连接， 在中，过点作，交于点， 因为，所以， 又是的中点，则， 所以，即， 又因为，所以， 又平面，平面，所以 ... ...