河南省焦作地区2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

河南省焦作地区2025届高三下学期4月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若，则( ) A. B. C. D. 3.展开式中的常数项为( ) A. B. C. D. 4.已知函数为偶函数，直线把圆的周长四等分，则圆心的坐标可能是( ) A. B. C. D. 5.已知不同四点满足，且，且为锐角，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.函数在上单调递减，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.过点可作两条直线与的图象相切，则的值不可能是( ) A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为，点为的中点，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线，则( ) A. 的离心率为 B. 的焦点到其渐近线的距离为 C. 直线与只有一个公共点 D. 若过的焦点与轴垂直的直线与交于两点，，则 10.若，则( ) A. B. ，不能同时为整数 C. D. 11.已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是( ) A. 若，且时最小，则 B. 若，，则的最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 若，且最小，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一组数据的中位数为，方差为，则另一组数据的中位数为 ，方差为 ． 13.已知椭圆的左顶点为，上，下顶点分别为，，右焦点为，直线与交于点，若，则 表示面积 14.函数满足：对任意，，且，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知中，内角，，所对的边分别为，，，． 若在上单调递增，求的取值范围； 若，，求的最大值． 16.本小题分 如图，在三棱台中，平面，，，，点为中点，点在上，且． 证明：平面； 若，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是，乙工厂生产的零部件次品率是． 从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； 用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取件，记这件中正品与次品的个数分别为，，，求的分布列与期望； 甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第个月开始，第个月的次品率单位：如表： 根据上表数据求得关于的回归直线方程为，求相关系数，并判断该回归直线方程是否有价值． 附：，，． 若，则认为回归直线方程有价值． 18.本小题分 已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，且． 求的值及抛物线的方程； 不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值； 如图，过点作两条直线与抛物线交于、、、四个点，且，求直线与的交点的坐标． 19.本小题分 已知函数． 求的零点个数； 若数列满足，，． 比较与的大小； 求证：时，． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得的取值范围为． ，，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 16.因为平面，平面，所以平面平面， 因为，点为中点，所以， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，故， 因为所以，所以， 因为，，平面，所以平面． 因为点为中点，且点到平面的距离为， 所以由点到直线的距离为， 所以，即，解得， 所以，， 连接，则由上可知，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则有， ... ...