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课件网) 10.2 事件的相互独立性 [学习目标] 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义,能在实际情境中判断事件的独立性. 2.结合古典概型,利用独立性计算概率,并能解决一些实际问题. 对任意两个事件A与B，如果_____成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． P(AB)＝P(A)P(B) 判断下列各对事件是不是相互独立事件. (1)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”; [分析] 通过“一个事件是否发生不影响另一事件发生的概率”直接判断,也可以利用“P(AB)=P(A)P(B)成立”来定量计算判断相互独立. 例1 [解] (1)由于把取出的水果又放回筐内,故“从中任意取出1个,取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个,取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件. (2)一个布袋里有大小完全相同的3个白球,2个红球,“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回,再从中任意取1个球是红球”. [分析] 通过“一个事件是否发生不影响另一事件发生的概率”直接判断,也可以利用“P(AB)=P(A)P(B)成立”来定量计算判断相互独立. [解] (2)不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二者不是相互独立事件. 两个事件是否相互独立的判断方法 1.直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. 2.公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件. 思维提升 1.已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球,乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球,这些球除标号外完全相同,第一次从甲袋中取出一个小球,第二次从乙袋中取出一个小球,事件A表示“第一次取出的小球标号为3”,事件B表示“第二次取出的小球标号为偶数”,事件C表示“两次取出的小球标号之和为7”,事件D表示“两次取出的小球标号之和为偶数”,则( ) A.A与C相互独立 B.A与B是对立事件 C.C与D是对立事件 D.B与D相互独立 跟踪训练 D 由题意可得基本事件总数为4×4=16,则A={(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)}, B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},C={(2,5),(3,4),(4,3)}, D={(1,3),(1,5),(3,3),(3,5),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)},由题意可得A与B可以同时发生,故不是对立事件,易知C与D不同时发生,为互斥事件,但不是对立事件,比如还可以有(2,3)发生,则B,C错误.P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(AC)=,P(BD)=, 则P(AC)≠P(A)P(C),P(BD)=P(B)P(D), 从而A与C不相互独立,B与D相互独立,故A错误,D正确. 相互独立 相互独立 相互独立 (1)(多选)设M,N为两个随机事件,给出以下命题正确的是( ) A.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 B.若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 C.若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 D.若P(M)=,P(N)=,P()=,则M,N为相互独立事件 [分析] (1)根据相互独立事件的概念判断. 例2 ABD (1)若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故A正确; 若P()=,P(N)=,P(MN)=,则P(M)=1-P()=,P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故B正确; 若P(M)=,P()=,则P(N)=1-P()=,P(MN)=,则M,N不是相互独立事件,故C错误; 若P(M)=,P(N)=,P()=,则P(MN)=1-P()==P(M)P(N),则M,N为相互独立事件,故D正确. (2)已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则 P(A)= ;P()= . [分析] (2)A,B相互独立,则A与,也相互独立. (2)∵P(A)=,P(B)=, ∴P()=,P()=. 又事件A,B相互独立,∴事件A,相互独立,事件,相互独立, ∴P(A)=P(A)P()=, P()=P()P()=. 2.(多选)若事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则下列说法正确的是( ) A.P()= B.P(AB)= C.P(AB)=P(A ... ...
