2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高二下学期4月期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 4.某人在一次考试中每门课得分如下：，，，，，，则数据的第百分位数为( ) A. B. C. D. 5.已知，，则( ) A. B. C. D. 6.等差数列的前项和为，若，则数列中最小项为( ) A. B. C. D. 7.函数，，且，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 若，则 10.已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是( ) A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若，则 11.下面这些图中，能一笔画连成的有( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若双曲线，它的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率 ． 13.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则 ． 14.如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且，，分别为棱，，是离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知椭圆的右焦点为，，为轴上一点。 求椭圆的方程 过点作与直线垂直的直线交于，两点，当的面积为时，求直线的方程。 16.本小题分 如图，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到点的位置，且，得到如图所示的四棱锥． 求证：平面 若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17.本小题分 已知定义在上的函数， 若，判断的单调性 若存在两个零点，求的取值范围． 18.本小题分 甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为． 求，的值 求数列的通项公式 并求使不等式成立的最小值． 19.本小题分 已知集合为平面中点的集合，为正整数，若对任意的且，总存在平面中的一条直线恰通过中的个不同的点，称集合为连续共线点集。 若，，，，判断是否为连续共线点集是否为连续共线点集 已知集合为连续共线点集，记集合的元素个数为 (ⅰ)若，求的最大值 (ⅱ)对给定的正整数，求的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：得，，， 的方程为． 直线的方程为， 则直线的斜率为， 设，， 联立 得． 则，， 所以 ． 又因为， ，解得， 所以的方程为． 16.证明：在中，，， 由余弦定理可得，即， 又因为，，所以为正三角形， 设中点为，连接、，由为正三角形可知， 由可知，、平面，， 所以平面， 又因为平面，故BD． 在中，可得，在中，可得， 又因为，可得，所以， 又因为、平面，， 所以平面． 解：因为，所以，再由平面可知，，， 故可以为坐标原点，，，别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 在坐标系中，各点坐标别为：，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则 取，可得，，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，，所以， 设平面与平面所成的角为，由图象可得为锐角， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 17.解：依题意可得， ，故， 设，则， ，， 在上单调递增， ， 在上单调递增． 令，可得， 所以 ... ...