2025北京一七一中高二3月月考 数 学 一、单选题（每题4分，共40分） 1．函数在区间上的平均变化率为（ ） A． B． C． D．3 2．函数的导数为（ ） A． B． C． D． 3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )． A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 4．已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（ ） A．6 B．10 C．14 D．18 5．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 6．曲线在点处切线为，则 等于（ ） A． B． C．4 D．2 7．某航天科研所安排甲，乙，丙，丁4位科学家应邀到创A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 8．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 二、填空题（每题5分，共25分） 11．已知函数f(x)=(x-3)(x-4)，则的图象在x=4处的切线方程为 ． 12．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、艺术5门课各一节的课程表，英语课不排在第5节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答） 13．已知函数，则 . 14．用数字0，1，2，3，4，5可组成 个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为 ． 15．已知函数，若没有零点则的取值范围为 ． 三、解答题（共6题，合计85分） 16．（本题13分）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题13分）已知函数，且当时，有极值． (1)求，的值； (2)求在上的最大值和最小值． 18．（本题14分）某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）： 高一年级 高二年级 高三年级 （1）试估计该校高三年级的教师人数 ； （2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ； （3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明） 19．（本题15分）已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上. (1)求椭圆方程及其离心率； (2)不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点. 20．（本题15分）已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 21．（本题15分）设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列. (1)数列是否为数列？说明理由； (2)已知其中为常数.若数列为数列，求； (3)已知数列满足，，，求 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D C B A A C 11．x-y-4=0． 12．96. 13．24 14． 300 2301 15． 16． （I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （II）由（1）得，， 设直线 ... ...
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