上海市建平中学2024?2025学年高三下学期3月月考数学试卷（含详解）

上海市建平中学2024 2025学年高三下学期3月月考数学试卷 一、填空题（本大题共12小题） 1．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 2．已知全集，，则 . 3．在的展开式中，常数项为 . 4．已知随机变量，若，则 . 5．数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则 . 6．若实数x，y满足，则的取值范围是 ； 7．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为 . 8．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 9．已知函数为奇函数，则 . 10．已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则C的离心率的取值范围为 . 11．为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个. 12．已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是 . 二、单选题（本大题共4小题） 13．“”是“直线与垂直”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 14．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（ ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 15．已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．已知数列满足，有如下两个命题：命题：“是严格增数列”的充要条件是“存任使得对任意，都有”；命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”.则下列说法中正确的是（ ） A．和都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是假命题 三、解答题（本大题共5小题） 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为. (1)证明：平面； (2)若直线与面所成角为，求点到平面的距离. 18．在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 19．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 20．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点 ... ...