安徽省安庆市示范高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含详解）

安徽省安庆市示范高中2024-2025高一下学期期中考试 数 学 试 卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知，其中为虚数单位，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知平面向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D．2 3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ） A． B． C． D． 6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A．6 B．6 C．12 D．12 8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列命题正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知平面向量，，则正确的是（ ） A． B．与可作为一组基底向量 C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ． 14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分）已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 16． (15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，． (1)求； (2)若为边AB上一点，且，求． 17． (15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 18． (17分）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 19． (17分）已知正四棱锥. (1)证明：平面； (2)当时，求该正四棱锥外接球的体积； (3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高. 答案及解析 一、单选题 1．已知，其中为虚数单位，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B ，则. 2．已知平面向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 平面向量，，由，得，所以. 3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D由向量与的夹角为，且，得，则， 所以在上的投影向量为. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则，所以，即， 所以，又， 则，即，又， 所以的面积为.故选：A. 5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为.故选：C 7．中 ... ...