(课件网) 8.1.1 向量数量积的概念 人教B版(2019)必修第三册 1.理解平面向量数量积的概念，会求平面向量的数量积. 2.理解投影向量及投影数量的概念. 3.理解平面向量数量积的几何意义. 问题：如果一个物体在力F作用下产生位移s，那么F所做的功是多少？ W＝|F||s| F s 图1 F s 图2 F θ F θ W＝|F||s|cos θ 思考：功与向量的数量积有什么联系？ 物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 它的实质是向量的数量积． 已知两个非零向量a、b，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a和向量b的夹角，记作. a b O A a B b 2.∈[0，π]； 4.两个向量的夹角是唯一确定的. 注意：1.两个向量移至共起点； 3.=； O A a B b θ O A B b a 若θ=0°，a与b同向 O A B b a 若θ=180°，a与b反向 O A B a b 若θ=90°，a与b垂直， 记作a⊥b. θ 规定：1.在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直. 2.在讨论平行问题时，零向量与任意向量平行. 练习：说出下列两个向量a和b的夹角的大小是多少？ (1) b a 40° ╮ (2) a b 60° (4) a b (3) ┐ a b 60° (6) b a (5) b a 0° 140° 90° 120° 180° 60° 一般地，当a与b都为非零向量时，称|a||b|cos为向量a与b的数量积（也称为内积）记作a·b，即a·b=|a||b|cos. 注：1.两个向量的数量积是一个实数； 2.符号由cos的符号所决定； O A B a b θ B O A a b θ O A B a b θ θ为锐角时， a·b＞0 θ为钝角时， a·b＜0 θ为直角时，a·b=0 3.a · b不能写成a×b ，a×b 表示 向量的另一种运算．这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写. 向量数量积的性质 1.a2=a·a=|a|2或|a|= ； 2.cos= ； 3.a⊥b a·b=0. 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状 内积为零是判定两向量垂直的条件 4.|a·b|≤|a||b|. 证明：|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|， ∵∈[0，π]，∴cos∈[-1，1]， ∴|cos|∈[0，1]， ∴|a·b|≤|a||b|. 例1 在边长为a的正六边形ABCDEF中，试求： 设非零向量 =a，过A，B分别做直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投影. 给定平面上的一个非零向量b，设b所在直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影. a A B A1 B1 l B a A A1 B1 l b 问题：向量 的方向和长度与有什么关联？ A1 B1 a b θ A1 B1 b a θ A1(B1) a b θ 为锐角时， =|a|cos＞0 为钝角时， =|a|cos＜0 θ为直角时， 如果a，b为两个非零向量，则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量. O A B b a θ |a|cos θ a·b=|a||b|cos=(|a|cos)|b| 向量数量积的几何意义： 两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积. 延伸1：向量a在向量b上的投影的数量|a|cos= . 延伸2：当e为单位向量，a·e=|a|cos. 向量投影的数量的求法 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影. 思考1：一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ 一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反． 思考2：向量b在向量a上的投影的数量与向量a在向量b上的投影的数量相同吗？ 向量b在向量a上的投影的数量 |b|cos〈a，b〉 向量a在向量b上的投影的数量 |a|cos〈a，b〉 不相同 例2 (多选题)已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是( ) A．|a·b|＝|a|·|b| a∥b B．a，b反向 a·b＝ ... ...
